Упр.27.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(4?)+sin(4?)+sin(4?)=-4sin(2?)sin(2?)sin(2?);
2) cos(?)+cos(?)+cos(?)=1+4cos((?+?)/2)cos((?+?)/2)cos((?+y)/2);
3) cos^2(?)+cos^2(?)+cos^2(?)=1-2cos(?)cos(?)cos(?).

Пусть $$\alpha+\beta+\gamma=\pi.$$ Докажем каждое тождество.

1. $$\sin 4\alpha+\sin 4\beta+\sin 4\gamma =\sin 4\alpha+\sin 4\beta+\sin\bigl(4\pi-4(\alpha+\beta)\bigr).$$

   Так как $$\sin(4\pi-x)=-\sin x,$$ то
   $$\sin 4\alpha+\sin 4\beta+\sin 4\gamma =\sin 4\alpha+\sin 4\beta-\sin 4(\alpha+\beta).$$

   Применим формулу суммы синусов:
   $$\sin 4\alpha+\sin 4\beta=2\sin 2(\alpha+\beta)\cos 2(\alpha-\beta).$$
   Тогда
   $$ \sin 4\alpha+\sin 4\beta-\sin 4(\alpha+\beta) =2\sin 2(\alpha+\beta)\cos 2(\alpha-\beta)-2\sin 2(\alpha+\beta)\cos 2(\alpha+\beta). $$

   Вынесем общий множитель:
   $$ =2\sin 2(\alpha+\beta)\bigl(\cos 2(\alpha-\beta)-\cos 2(\alpha+\beta)\bigr). $$

   По формуле
   $$\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}$$
   получаем
   $$ \cos 2(\alpha-\beta)-\cos 2(\alpha+\beta)=2\sin 2\alpha\sin 2\beta. $$
   Кроме того,
   $$\sin 2(\alpha+\beta)=\sin(2\pi-2\gamma)=-\sin 2\gamma.$$

   Значит,
   $$ \sin 4\alpha+\sin 4\beta+\sin 4\gamma =-4\sin 2\alpha\sin 2\beta\sin 2\gamma. $$

2. $$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma =\cos\alpha+\cos\beta+\cos(\pi-\alpha-\beta).$$

   Так как $$\cos(\pi-x)=-\cos x,$$ то
   $$ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma =\cos\alpha+\cos\beta-\cos(\alpha+\beta). $$

   Используем формулу суммы косинусов:
   $$ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}. $$
   Тогда
   $$ \cos\alpha+\cos\beta-\cos(\alpha+\beta) =2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\cos(\alpha+\beta). $$

   Поскольку
   $$ \cos(\alpha+\beta)=2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}-1, $$
   получаем
   $$ =1+2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right). $$

   По формуле
   $$\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}$$
   имеем
   $$ \cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2} =2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}. $$
   Тогда
   $$ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma =1+4\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}. $$

   Так как $$\gamma=\pi-\alpha-\beta,$$ то
   $$ \cos\frac{\gamma}{2}=\sin\frac{\alpha+\beta}{2}, $$
   и, следовательно,
   $$ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma =1+4\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\gamma}{2}\cos\frac{\beta+\gamma}{2}. $$

3. $$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma =\frac{1+\cos 2\alpha}{2}+\frac{1+\cos 2\beta}{2}+\frac{1+\cos 2\gamma}{2}.$$

   Тогда
   $$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma =\frac12\bigl(3+\cos 2\alpha+\cos 2\beta+\cos 2\gamma\bigr). $$

   По пункту 2 для углов $$2\alpha,\,2\beta,\,2\gamma$$ получаем
   $$ \cos 2\alpha+\cos 2\beta+\cos 2\gamma =1+4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-3. $$
   Следовательно,
   $$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma =1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma. $$

Ответ

$$\sin 4\alpha+\sin 4\beta+\sin 4\gamma=-4\sin 2\alpha\sin 2\beta\sin 2\gamma,$$
$$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=1+4\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\gamma}{2}\cos\frac{\beta+\gamma}{2},$$
$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$