Упр.27.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

cos^2(?)+cos^2(?)+cos^2(?)=2+2sin(?)sin(?)sin(?).

Пусть $$\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}.$$ Тогда

$$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}+\frac{1+\cos 2\beta}{2}+\frac{1+\cos 2\gamma}{2}. $$

$$ =\frac12\bigl(3+\cos 2\alpha+\cos 2\beta+\cos(\pi-2(\alpha+\beta))\bigr). $$

Так как $$\gamma=\frac{\pi}{2}-\alpha-\beta,$$ то

$$ \cos(\pi-2(\alpha+\beta))=-\cos(2\alpha+2\beta). $$

Следовательно,

$$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma = \frac12\bigl(3+\cos 2\alpha+\cos 2\beta-\cos(2\alpha+2\beta)\bigr). $$

Используем формулы

$$ \cos 2\alpha+\cos 2\beta=2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta), $$
$$ \cos(2\alpha+2\beta)=2\cos^2(\alpha+\beta)-1. $$

Тогда

$$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma = \frac12\Bigl(3+2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)-2\cos^2(\alpha+\beta)+1\Bigr) $$

$$ =2+\cos(\alpha+\beta)\bigl(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr). $$

По формуле разности косинусов

$$ \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\sin\beta. $$

Кроме того,

$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\gamma\right)=\sin\gamma. $$

Значит,

$$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma = 2+2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma. $$

Ответ

$$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=2+2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma. $$