Упр.27.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(?)+sin(?)+sin(?)=4cos(?/2)cos(?/2)cos(?/2);
2) sin(2?)+sin(2?)+sin(2?)=4sin(?)sin(?)sin(?);
3) cos(?)+cos(?)+cos(?)=1+4sin(?/2)sin(?/2)sin(?/2);
4) cos(2?)+cos(2?)+cos(2?)=-1-4cos(?)cos(?)cos(?);
5) sin^2(?)+sin^2(?)-sin^2(?)=2sin(?)sin(?)cos(?).

Пусть $$\alpha+\beta+\gamma=\pi.$$ Тогда во всех пунктах будем выражать один из углов через два других и применять формулы приведения, суммы и разности тригонометрических функций.

1. $$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\pi-(\alpha+\beta))$$

   $$=\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\alpha+\beta)$$

   $$=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$$

   $$=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$$

   $$=2\sin\frac{\pi-\gamma}{2}\cdot 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}$$

   $$=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.$$

2. $$\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin\bigl(2\pi-2(\alpha+\beta)\bigr)$$

   $$=\sin2\alpha+\sin2\beta-\sin(2\alpha+2\beta)$$

   $$=2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)-2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta)$$

   $$=2\sin(\alpha+\beta)\bigl(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr)$$

   $$=2\sin(\pi-\gamma)\cdot 2\sin\alpha\sin\beta$$

   $$=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.$$

3. $$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=\cos\alpha+\cos\beta+\cos(\pi-(\alpha+\beta))$$

   $$=\cos\alpha+\cos\beta-\cos(\alpha+\beta)$$

   $$=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\left(2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}-1\right)$$

   $$=1+2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$$

   $$=1-4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}.$$

4. $$\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma=\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos\bigl(2\pi-2(\alpha+\beta)\bigr)$$

   $$=\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos(2\alpha+2\beta)$$

   $$=2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+2\cos^2(\alpha+\beta)-1$$

   $$=2\cos(\alpha+\beta)\bigl(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\bigr)-1$$

   $$=2\cos(\pi-\gamma)\cdot 2\cos\alpha\cos\beta-1$$

   $$=-1-4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$

5. $$\sin^2\alpha+\sin^2\beta-\sin^2\gamma=\sin^2\alpha+\sin^2\beta-\sin^2(\pi-(\alpha+\beta))$$

   $$=\sin^2\alpha+\sin^2\beta-\sin^2(\alpha+\beta)$$

   $$=\sin^2\alpha+\sin^2\beta-\bigl(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\bigr)^2$$

   $$=2\sin\alpha\sin\beta\cos(\alpha+\beta)$$

   $$=2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma.$$

Ответ

$$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2},$$
$$\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,$$
$$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=1-4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2},$$
$$\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma=-1-4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma,$$
$$\sin^2\alpha+\sin^2\beta-\sin^2\gamma=2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma.$$