Упр.27.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 27.15. Докажите равенство tg(30°)+tg(40°)+tg(50°)+tg(60°)=8cos(20°)/v3.

Подробный ответ

Преобразуем сумму, используя формулу $$\tg \alpha+\tg \beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$$ для пар углов $$30^\circ$$ и $$60^\circ$$, а также $$40^\circ$$ и $$50^\circ$$:

$$ \tg 30^\circ+\tg 40^\circ+\tg 50^\circ+\tg 60^\circ = \frac{\sin 90^\circ}{\cos 30^\circ\cos 60^\circ} + \frac{\sin 90^\circ}{\cos 40^\circ\cos 50^\circ}. $$

Так как $$\sin 90^\circ=1$$, получаем:

$$ \frac{1}{\cos 30^\circ\cos 60^\circ} + \frac{1}{\cos 40^\circ\cos 50^\circ}. $$

Подставим значения и используем формулу $$\cos 50^\circ=\sin 40^\circ$$, тогда $$\cos 40^\circ\cos 50^\circ=\cos 40^\circ\sin 40^\circ=\frac{1}{2}\sin 80^\circ=\frac{1}{2}\cos 10^\circ$$:

$$ \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}}+\frac{1}{\frac{1}{2}\cos 10^\circ} = \frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\cos 10^\circ}. $$

Умножим обе части на $$\sqrt{3}\cos 10^\circ$$:

$$ 4\cos 10^\circ+2\sqrt{3} = \frac{8\cos 20^\circ\cos 10^\circ}{\sqrt{3}}. $$

Используем формулу $$\cos 20^\circ\cos 10^\circ=\frac{\cos 30^\circ+\cos 10^\circ}{2}$$:

$$ 4\cos 10^\circ+2\sqrt{3} = 4(\cos 30^\circ+\cos 10^\circ). $$

Так как $$\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, то

$$ 4\cos 10^\circ+2\sqrt{3} = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+4\cos 10^\circ. $$

Получили верное тождество, значит

$$ \tg 30^\circ+\tg 40^\circ+\tg 50^\circ+\tg 60^\circ=\frac{8\cos 20^\circ}{\sqrt{3}}. $$