Упр.27.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) sin^2(?)+sin^2(?)+cos(?+?)cos(?-?);
2) cos^2(45°-?)-cos^2(60°+?)-sin(75°-2?)cos(75°).

Подробный ответ

1) Используем формулы:

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\frac{\cos 2\alpha+\cos 2\beta}{2}.$$

Тогда

$$ \sin^2 \alpha+\sin^2 \beta+\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)= \frac{1-\cos 2\alpha}{2}+\frac{1-\cos 2\beta}{2}+\frac{\cos 2\alpha+\cos 2\beta}{2}. $$

Сокращаем:

$$ \frac{1}{2}-\frac{\cos 2\alpha}{2}+\frac{1}{2}-\frac{\cos 2\beta}{2}+\frac{\cos 2\alpha}{2}+\frac{\cos 2\beta}{2}=1. $$

Значит, выражение равно $$1$$.

2) Преобразуем разность квадратов:

$$ \cos^2(45^\circ-\alpha)-\cos^2(60^\circ+\alpha) = \bigl(\cos(45^\circ-\alpha)-\cos(60^\circ+\alpha)\bigr) \bigl(\cos(45^\circ-\alpha)+\cos(60^\circ+\alpha)\bigr). $$

По формулам суммы и разности косинусов:

$$ \cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}, \qquad \cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}. $$

При $$u=45^\circ-\alpha,\ v=60^\circ+\alpha$$ получаем

$$ \cos(45^\circ-\alpha)-\cos(60^\circ+\alpha) =2\sin\left(\frac{105^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{15^\circ}{2}+\alpha\right), $$

$$ \cos(45^\circ-\alpha)+\cos(60^\circ+\alpha) =2\cos\left(\frac{105^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{15^\circ}{2}+\alpha\right). $$

Тогда

$$ \cos^2(45^\circ-\alpha)-\cos^2(60^\circ+\alpha) = 4\sin\left(\frac{105^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{105^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{15^\circ}{2}+\alpha\right)\cos\left(\frac{15^\circ}{2}+\alpha\right). $$

Используем формулу $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:

$$ = \sin 105^\circ \cdot \sin(15^\circ+2\alpha). $$

Так как $$\sin 105^\circ=\cos 15^\circ$$, то

$$ \cos^2(45^\circ-\alpha)-\cos^2(60^\circ+\alpha) = \cos 15^\circ \sin(15^\circ+2\alpha). $$

Теперь вычтем $$\sin(75^\circ-2\alpha)\cos 75^\circ$$:

$$ \cos 15^\circ \sin(15^\circ+2\alpha)-\sin(75^\circ-2\alpha)\cos 75^\circ. $$

Заметим, что $$\cos 75^\circ=\sin 15^\circ$$ и $$\sin(75^\circ-2\alpha)=\cos(15^\circ+2\alpha)$$. Тогда

$$ \cos 15^\circ \sin(15^\circ+2\alpha)-\cos(15^\circ+2\alpha)\sin 15^\circ. $$

По формуле $$\sin A\cos B-\cos A\sin B=\sin(A-B)$$ получаем

$$ \sin\bigl((15^\circ+2\alpha)-15^\circ\bigr)=\sin 2\alpha. $$