Упр.27.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin^2(?)+cos(?/3-?)cos(?/3+?);
2) cos^2(?)+cos^2(?)-cos(?+?)cos(?-?);
3) cos^2(45°+?)-cos^2(30°-?)+sin(15°)sin(75°-2?).

1. $$\sin^2\alpha+\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$$

   Используем формулы:
   $$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2},$$
   $$\cos x\cos y=\frac{\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2}.$$

   Тогда
   $$ \sin^2\alpha+\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right) =\frac{1-\cos 2\alpha}{2}+\frac{\cos 2\alpha+\cos\frac{2\pi}{3}}{2}. $$

   Так как $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ получаем
   $$ \frac{1-\cos 2\alpha}{2}+\frac{\cos 2\alpha-\frac12}{2} =\frac14. $$

2. $$\cos^2\alpha+\cos^2\beta-\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$$

   Применим формулы:
   $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2},$$
   $$\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\frac{\cos 2\alpha+\cos 2\beta}{2}.$$

   Тогда
   $$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta-\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) =\frac{1+\cos 2\alpha}{2}+\frac{1+\cos 2\beta}{2}-\frac{\cos 2\alpha+\cos 2\beta}{2}. $$

   После сокращения получаем
   $$ 1. $$

3. $$\cos^2(45^\circ+\alpha)-\cos^2(30^\circ-\alpha)+\sin 15^\circ\sin(75^\circ-2\alpha)$$

   Разность квадратов представим как произведение:
   $$ \cos^2(45^\circ+\alpha)-\cos^2(30^\circ-\alpha) =\bigl(\cos(45^\circ+\alpha)-\cos(30^\circ-\alpha)\bigr) \bigl(\cos(45^\circ+\alpha)+\cos(30^\circ-\alpha)\bigr). $$

   Используем формулы суммы в произведение:
   $$ \cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}, $$
   $$ \cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}. $$

   Тогда
   $$ \cos^2(45^\circ+\alpha)-\cos^2(30^\circ-\alpha) =-4\sin\frac{75^\circ}{2}\sin\left(\frac{15^\circ}{2}+\alpha\right) \cos\frac{75^\circ}{2}\cos\left(\frac{15^\circ}{2}+\alpha\right). $$

   После преобразований выражение сводится к
   $$ \sin 15^\circ\sin(75^\circ-2\alpha)-\sin 75^\circ\sin(15^\circ+2\alpha). $$

   Применим формулу
   $$\sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2},$$
   либо сразу используем тождество:
   $$ \sin 15^\circ\sin(75^\circ-2\alpha)-\sin 75^\circ\sin(15^\circ+2\alpha)=\sin(-2\alpha). $$

   Значит,
   $$ \sin(-2\alpha)=-\sin 2\alpha. $$

Ответ

1) $$\frac14$$;
2) $$1$$;
3) $$-\sin 2\alpha$$.