Упр.27.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 1-2cos(?)+cos(2?)=-4cos(?)sin^2(?/2);
2) 1-sin(?)-cos(?)=2v2sin(?/2)sin(?/2-45°).

1) Преобразуем правую часть:

$$ -4\cos\alpha \sin^2\frac{\alpha}{2} =-4\cos\alpha \cdot \frac{1-\cos\alpha}{2} =-2\cos\alpha(1-\cos\alpha) =-2\cos\alpha+2\cos^2\alpha. $$

Теперь используем формулу $$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$$:

$$ -2\cos\alpha+2\cos^2\alpha =1-2\cos\alpha+\cos 2\alpha. $$

Следовательно,

$$ 1-2\cos\alpha+\cos 2\alpha=-4\cos\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}. $$

Тождество доказано.

2) Преобразуем правую часть:

$$ 2\sqrt2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}\right) =\sqrt2\left[\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right]. $$

Тогда

$$ =\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}-\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\right). $$

Используем формулу

$$ \cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}+\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}. $$

Так как $$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$$, получаем:

$$ \sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}-\cos\alpha\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\sin\alpha\cdot\frac{\sqrt2}{2}\right) =1-\cos\alpha-\sin\alpha. $$

Значит,

$$ 1-\sin\alpha-\cos\alpha=2\sqrt2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}\right). $$

Тождество доказано.

Ответ

1) $$1-2\cos\alpha+\cos 2\alpha=-4\cos\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}$$; 2) $$1-\sin\alpha-\cos\alpha=2\sqrt2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$$.