Упр.27.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 1+sin(?)+cos(?)=2v2cos(?/2)cos(?/2-?/4);
2) (1+cos(4?-2?)+cos(4?-?/2))/(1+cos(4?+?)+cos(4?+3?/2))=ctg(2?).

1. Используем формулу произведения в сумму:
   $$2\cos A\cos B=\cos(A+B)+\cos(A-B).$$
   Тогда
   $$2\sqrt2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{2\sqrt2}{2}\left(\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right).$$

   Получаем
   $$=\sqrt2\left(\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)+\cos\frac{\pi}{4}\right).$$
   Так как
   $$\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}+\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4},$$
   а
   $$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$
   то
   $$\sqrt2\left(\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)+\cos\frac{\pi}{4}\right) =\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

   Следовательно,
   $$2\sqrt2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\alpha+\sin\alpha+1.$$

2. Преобразуем числитель и знаменатель:
   $$1+\cos(4\alpha-2\pi)+\cos\left(4\alpha-\frac{\pi}{2}\right) =1+\cos4\alpha+\sin4\alpha,$$
   так как
   $$\cos(4\alpha-2\pi)=\cos4\alpha,\qquad \cos\left(4\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=\sin4\alpha.$$

   Аналогично,
   $$1+\cos(4\alpha+\pi)+\cos\left(4\alpha+\frac{3\pi}{2}\right) =1-\cos4\alpha+\sin4\alpha,$$
   поскольку
   $$\cos(4\alpha+\pi)=-\cos4\alpha,\qquad \cos\left(4\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)=\sin4\alpha.$$

   Тогда
   $$\frac{1+\cos(4\alpha-2\pi)+\cos\left(4\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}{1+\cos(4\alpha+\pi)+\cos\left(4\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)} =\frac{1+\cos4\alpha+\sin4\alpha}{1-\cos4\alpha+\sin4\alpha}.$$

   Используем формулы
   $$1+\cos4\alpha=2\cos^2 2\alpha,\qquad 1-\cos4\alpha=2\sin^2 2\alpha,\qquad \sin4\alpha=2\sin2\alpha\cos2\alpha.$$
   Тогда
   $$\frac{1+\cos4\alpha+\sin4\alpha}{1-\cos4\alpha+\sin4\alpha} =\frac{2\cos^2 2\alpha+2\sin2\alpha\cos2\alpha}{2\sin^2 2\alpha+2\sin2\alpha\cos2\alpha}.$$

   Вынесем общий множитель:
   $$=\frac{2\cos2\alpha(\cos2\alpha+\sin2\alpha)}{2\sin2\alpha(\sin2\alpha+\cos2\alpha)} =\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} =\operatorname{ctg}2\alpha.$$

Ответ

1) $$2\sqrt2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\alpha+\sin\alpha+1.$$
2) $$\frac{1+\cos(4\alpha-2\pi)+\cos\left(4\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}{1+\cos(4\alpha+\pi)+\cos\left(4\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)}=\operatorname{ctg}2\alpha.$$