Упр.27.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) tg(3?)-tg(2?)-tg(?)=tg(?)tg(2?)tg(3?);
2) 1/(tg(3?)+tg(?))-1/(tg(5?)-tg(?))=sin(2?).

1) Преобразуем левую часть:

$$ \tg 3\alpha-\tg 2\alpha-\tg \alpha =\frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha}-\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}-\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ =\sin \alpha\left(\frac{1}{\cos 3\alpha\cos 2\alpha}-\frac{1}{\cos \alpha}\right) =\sin \alpha\cdot \frac{\cos \alpha-\cos 3\alpha\cos 2\alpha}{\cos 3\alpha\cos 2\alpha\cos \alpha}. $$

Используем формулу

$$ \cos 3\alpha\cos 2\alpha=\frac{\cos 5\alpha+\cos \alpha}{2}. $$

Тогда

$$ \cos \alpha-\cos 3\alpha\cos 2\alpha =\cos \alpha-\frac{\cos 5\alpha+\cos \alpha}{2} =\frac{\cos \alpha-\cos 5\alpha}{2}. $$

По формуле разности косинусов:

$$ \cos \alpha-\cos 5\alpha=2\sin 3\alpha\sin 2\alpha. $$

Следовательно,

$$ \tg 3\alpha-\tg 2\alpha-\tg \alpha =\sin \alpha\cdot \frac{2\sin 3\alpha\sin 2\alpha}{2\cos 3\alpha\cos 2\alpha\cos \alpha} =\tg \alpha\cdot \tg 2\alpha\cdot \tg 3\alpha. $$

2) Преобразуем левую часть:

$$ \frac{1}{\tg 3\alpha+\tg \alpha}-\frac{1}{\tg 5\alpha-\tg \alpha} =\frac{\cos 3\alpha\cos \alpha}{\sin 4\alpha}-\frac{\cos 5\alpha\cos \alpha}{\sin 4\alpha}. $$

Объединим дроби:

$$ =\frac{\cos \alpha(\cos 3\alpha-\cos 5\alpha)}{\sin 4\alpha}. $$

По формуле разности косинусов:

$$ \cos 3\alpha-\cos 5\alpha=2\sin 4\alpha\sin \alpha. $$

Тогда

$$ \frac{\cos \alpha(\cos 3\alpha-\cos 5\alpha)}{\sin 4\alpha} =\frac{\cos \alpha\cdot 2\sin 4\alpha\sin \alpha}{\sin 4\alpha} =2\sin \alpha\cos \alpha =\sin 2\alpha. $$

Ответ

$$ 1)\ \tg 3\alpha-\tg 2\alpha-\tg \alpha=\tg \alpha\cdot \tg 2\alpha\cdot \tg 3\alpha; $$
$$ 2)\ \frac{1}{\tg 3\alpha+\tg \alpha}-\frac{1}{\tg 5\alpha-\tg \alpha}=\sin 2\alpha. $$