Упр.27.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (sin(8?)+sin(2?))/(cos(8?)+cos(2?));
2) (sin(5?)-sin(?))/(cos(5?)-cos(?));
3) (cos(74°)-cos(14°))/(sin(74°)+sin(14°)).

1. $$\frac{\sin 8\alpha+\sin 2\alpha}{\cos 8\alpha+\cos 2\alpha}$$
   Используем формулы суммы в произведение:
   $$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
   $$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
   Тогда
   $$\frac{\sin 8\alpha+\sin 2\alpha}{\cos 8\alpha+\cos 2\alpha} =\frac{2\sin 5\alpha\cos 3\alpha}{2\cos 5\alpha\cos 3\alpha} =\frac{\sin 5\alpha}{\cos 5\alpha} =\tg 5\alpha.$$

2. $$\frac{\sin 5\alpha-\sin \alpha}{\cos 5\alpha-\cos \alpha}$$
   Применим формулы разности в произведение:
   $$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
   $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
   Получаем
   $$\frac{\sin 5\alpha-\sin \alpha}{\cos 5\alpha-\cos \alpha} =\frac{2\cos 3\alpha\sin 2\alpha}{-2\sin 3\alpha\sin 2\alpha} =-\frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} =-\ctg 3\alpha.$$

3. $$\frac{\cos 74^\circ-\cos 14^\circ}{\sin 74^\circ+\sin 14^\circ}$$
   Используем формулы:
   $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
   $$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
   Тогда
   $$\frac{\cos 74^\circ-\cos 14^\circ}{\sin 74^\circ+\sin 14^\circ} =\frac{-2\sin 44^\circ\sin 30^\circ}{2\sin 44^\circ\cos 30^\circ} =-\tg 30^\circ =-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ

1) $$\tg 5\alpha$$; 2) $$-\ctg 3\alpha$$; 3) $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$.