Упр.26.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2sin^2(?)+cos(2?)=1;
2) ctg(3?)(1-cos(6?))=sin(6?);
3) (1-cos(2?))/sin^2(?)=2;
4) cos^2(5?/4-2?)-cos^2(5?/4+2?)=tg^2(2?).

1. $$2\sin^2\alpha+\cos 2\alpha=2\sin^2\alpha+(1-2\sin^2\alpha)=1.$$
   Тождество доказано.
2. $$\ctg 3\alpha\,(1-\cos 6\alpha)=\ctg 3\alpha\,(1-(1-2\sin^2 3\alpha))$$
   $$=\ctg 3\alpha\cdot 2\sin^2 3\alpha=\frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha}\cdot 2\sin^2 3\alpha=2\sin 3\alpha\cos 3\alpha=\sin 6\alpha.$$
   Тождество доказано.
3. $$\frac{1-\cos 2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac{1-(1-2\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha}=\frac{2\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}=2.$$
   Тождество доказано.
4. $$\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}-2\alpha\right)-\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}+2\alpha\right)$$
   $$=\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+2\alpha\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-2\alpha\right).$$
   Используем формулу
   $$\sin^2 x-\sin^2 y=\sin(x+y)\sin(x-y).$$
   Тогда
   $$\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+2\alpha\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-2\alpha\right)=\sin\frac{\pi}{2}\cdot \sin 4\alpha=\sin 4\alpha.$$
   Получаем
   $$\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}-2\alpha\right)-\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}+2\alpha\right)=\sin 4\alpha,$$
   а это не равно $$\tg^2 2\alpha$$ при всех $$\alpha$$. Следовательно, данное равенство не является тождеством.

Ответ

1) тождество верно; 2) тождество верно; 3) тождество верно; 4) равенство не является тождеством.