Упр.26.50 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 26.50. Докажите равенство (n радикалов)v(2+v(2+v(2+v(…+v2))))=2cos(?/2^(n+1)).

Докажем равенство по индукции по числу радикалов.

Обозначим

$$x_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt2}}}$$

Тогда нужно доказать, что

$$x_n=2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}.$$

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем

$$x_1=\sqrt2.$$

С другой стороны,

$$2\cos\frac{\pi}{2^{1+1}}=2\cos\frac{\pi}{4}=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2.$$

База верна.

2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$k$$ верно

$$x_k=2\cos\frac{\pi}{2^{k+1}}.$$

Тогда

$$x_{k+1}=\sqrt{2+x_k}=\sqrt{2+2\cos\frac{\pi}{2^{k+1}}}.$$

Используем формулу

$$1+\cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}.$$

Получаем

$$x_{k+1}=\sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2^{k+2}}}=2\cos\frac{\pi}{2^{k+2}}.$$

Так как угол $$\frac{\pi}{2^{k+2}}$$ лежит в первом квадранте, косинус положителен, поэтому знак корня выбран верно.

Следовательно, утверждение верно для $$k+1$$.

По принципу математической индукции равенство доказано для всех натуральных $$n$$.

Ответ

$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt2}}}=2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}.$$