Упр.26.49 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что $$\cos(20^\circ)$$ — иррациональное число.

Рассмотрим уравнение для косинуса тройного угла:

$$\cos 60^\circ = 4\cos^3 20^\circ — 3\cos 20^\circ.$$

Так как $$\cos 60^\circ=\frac12,$$ получаем

$$4\cos^3 20^\circ — 3\cos 20^\circ — \frac12 = 0.$$

Умножим на $$2$$:

$$8\cos^3 20^\circ — 6\cos 20^\circ — 1 = 0.$$

Обозначим $$x=\cos 20^\circ$$. Тогда число $$x$$ является корнем уравнения

$$8x^3-6x-1=0.$$

Предположим, что $$x$$ — рациональное число. Тогда, по теореме о рациональных корнях, возможны только значения

$$x=\pm 1,\ \pm \frac12,\ \pm \frac14,\ \pm \frac18.$$

Проверим их:

$$8\cdot(-1)^3-6\cdot(-1)-1=-3,$$

$$8\cdot\left(-\frac18\right)^3-6\cdot\left(-\frac18\right)-1=-\frac{17}{64},$$

$$8\cdot\left(\frac18\right)^3-6\cdot\left(\frac18\right)-1=-\frac{111}{64},$$

$$8\cdot 1^3-6\cdot 1-1=1.$$

Ни одно из возможных рациональных значений не обращает многочлен в нуль. Значит, $$\cos 20^\circ$$ не может быть рациональным числом.

Ответ: $$\cos 20^\circ$$ — иррациональное число.