Упр.26.49 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 26.49. Докажите, что cos(20°) — иррациональное число.

Подробный ответ

Используем формулу:

$$\cos 60^\circ = 4\cos^3 20^\circ — 3\cos 20^\circ.$$

Так как $$\cos 60^\circ=\frac12,$$ получаем:

$$4\cos^3 20^\circ — 3\cos 20^\circ — \frac12 = 0.$$

Умножим на $$2$$:

$$8\cos^3 20^\circ — 6\cos 20^\circ — 1 = 0.$$

Обозначим $$x=\cos 20^\circ$$. Тогда число $$x$$ является корнем уравнения

$$8x^3-6x-1=0.$$

Предположим, что $$\cos 20^\circ$$ — рациональное число. Тогда, по теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни этого уравнения могут быть только среди чисел

$$\pm 1,\ \pm \frac12,\ \pm \frac14,\ \pm \frac18.$$

Проверим подходящие значения:

$$f(-1)=-8+6-1=-3,$$

$$f\!\left(-\frac18\right)=-\frac{1}{64}+\frac34-1=-\frac{17}{64},$$

$$f\!\left(\frac18\right)=\frac{1}{64}-\frac34-1=-\frac{111}{64},$$

$$f(1)=8-6-1=1.$$

Ни одно из возможных рациональных значений не является корнем уравнения. Значит, $$\cos 20^\circ$$ не может быть рациональным числом.