Упр.26.48 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 26.48. Докажите, что sin(10°) — иррациональное число.

Используем формулу

$$\sin 30^\circ=3\sin 10^\circ-4\sin^3 10^\circ.$$

Так как $$\sin 30^\circ=\frac12,$$ получаем

$$3\sin 10^\circ-4\sin^3 10^\circ=\frac12.$$

Обозначим $$x=\sin 10^\circ.$$ Тогда

$$3x-4x^3=\frac12,$$

или

$$8x^3-6x+1=0.$$

Предположим, что $$\sin 10^\circ$$ — рациональное число. Тогда число $$x$$ рационально, а значит, по теореме о рациональных корнях уравнения $$8x^3-6x+1=0$$ возможные рациональные корни могут быть только среди чисел

$$\pm 1,\ \pm \frac12,\ \pm \frac14,\ \pm \frac18.$$

Проверим их:

$$f(-1)=-8+6+1=-1,$$

$$f\!\left(-\frac18\right)=-\frac{1}{64}+\frac34+1=\frac{111}{64},$$

$$f\!\left(\frac18\right)=\frac{1}{64}-\frac34+1=\frac{17}{64},$$

$$f(1)=8-6+1=3.$$

Ни одно из возможных рациональных значений не является корнем уравнения. Следовательно, уравнение не имеет рациональных корней, а значит, $$\sin 10^\circ$$ не может быть рациональным числом.

Ответ

$$\sin 10^\circ$$ — иррациональное число.