Упр.26.47 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 26.47. Вычислите sin(18В°).

Обозначим $$x=\sin 18^\circ.$$ Тогда используем формулу двойного угла:

$$2\sin 18^\circ \cos 18^\circ=\sin 36^\circ.$$

Так как $$\sin 36^\circ=\cos 54^\circ,$$ а также

$$\cos 54^\circ=4\cos^3 18^\circ-3\cos 18^\circ,$$

получаем

$$2\sin 18^\circ \cos 18^\circ=\cos 18^\circ\left(4\cos^2 18^\circ-3\right).$$

Подставим $$\cos^2 18^\circ=1-\sin^2 18^\circ=1-x^2$$:

$$2x\cos 18^\circ=\cos 18^\circ\left(4(1-x^2)-3\right).$$

Так как $$\cos 18^\circ\neq 0,$$ сокращаем на $$\cos 18^\circ$$:

$$2x=4(1-x^2)-3.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$4x^2+2x-1=0.$$

Найдём корни:

$$D=2^2-4\cdot 4\cdot(-1)=4+16=20,$$

$$x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{8}=\frac{-2\pm 2\sqrt5}{8}=\frac{-1\pm\sqrt5}{4}.$$

Так как $$\sin 18^\circ>0,$$ берём положительный корень:

$$\sin 18^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4}.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt5-1}{4}$$