Упр.26.46 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(2+v(2+2cos(4?))), если 0????/2;
2) v(0,5+0,5v(0,5+0,5v(0,5+0,5cos(?)))), если 0?a??;
3) v(1+sin(?))-v(1-sin(?)), если ?/2 < ? < ?.

1. $$M=\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos 4\alpha}}.$$
   Используем формулу
   $$1+\cos 2x=2\cos^2 x.$$
   Тогда
   $$2+2\cos 4\alpha=4\cos^2 2\alpha,$$
   и
   $$\sqrt{2+2\cos 4\alpha}=2|\cos 2\alpha|.$$
   Значит,
   $$M=\sqrt{2+2|\cos 2\alpha|}.$$
   При $$0\le \alpha\le \frac{\pi}{4}$$ имеем $$0\le 2\alpha\le \frac{\pi}{2}$$, поэтому $$\cos 2\alpha\ge 0$$ и
   $$M=\sqrt{2+2\cos 2\alpha}=\sqrt{4\cos^2\alpha}=2\cos\alpha.$$
   При $$\frac{\pi}{4}<\alpha\le \frac{\pi}{2}$$ имеем $$\frac{\pi}{2}<2\alpha\le \pi$$, поэтому $$\cos 2\alpha\le 0$$ и $$M=\sqrt{2-2\cos 2\alpha}=\sqrt{4\sin^2\alpha}=2\sin\alpha.$$

2. $$M=\sqrt{0{,}5+0{,}5\sqrt{0{,}5+0{,}5\sqrt{0{,}5+0{,}5\cos\alpha}}}.$$
   Последовательно применим формулу
   $$0{,}5+0{,}5\cos x=\frac{1+\cos x}{2}=\cos^2\frac{x}{2}.$$
   Тогда
   $$\sqrt{0{,}5+0{,}5\cos\alpha}=\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}}=\cos\frac{\alpha}{2},$$
   так как $$0\le \alpha\le \pi$$.
   Далее,
   $$\sqrt{0{,}5+0{,}5\cos\frac{\alpha}{2}}=\cos\frac{\alpha}{4},$$
   и
   $$\sqrt{0{,}5+0{,}5\cos\frac{\alpha}{4}}=\cos\frac{\alpha}{8}.$$

3. $$M=\sqrt{1+\sin\varphi}-\sqrt{1-\sin\varphi}.$$
   Возведём в квадрат:
   $$M^2=1+\sin\varphi-2\sqrt{(1+\sin\varphi)(1-\sin\varphi)}+1-\sin\varphi.$$
   Тогда
   $$M^2=2-2\sqrt{1-\sin^2\varphi}=2-2|\cos\varphi|.$$
   При $$\frac{\pi}{2}<\varphi<\pi$$ имеем $$\cos\varphi<0$$, значит $$|\cos\varphi|=-\cos\varphi.$$ Следовательно, $$M^2=2+2\cos\varphi=4\cos^2\frac{\varphi}{2},$$ а так как $$M\ge 0$$, то $$M=2\cos\frac{\varphi}{2}.$$

Ответ

1) $$2\cos\alpha$$ при $$0\le \alpha\le \frac{\pi}{4}$$; $$2\sin\alpha$$ при $$\frac{\pi}{4}<\alpha\le \frac{\pi}{2}$$;
2) $$\cos\frac{\alpha}{8}$$;
3) $$2\cos\frac{\varphi}{2}$$.