Упр.26.45 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(0,5+0,5v(0,5+0,5cos(?))), если 0????;
2) cos(?)/v(1-cos(2?))-sin(?)/v(1+cos(2?)), если 0° < ? < 90°; 3) sin(45°+?/2)/v(1-sin(?))-sin(45°-?/2)/v(1+sin(?)), если 0° < ? < 90°.

1. $$M=\sqrt{0{,}5+0{,}5\sqrt{0{,}5+0{,}5\cos\alpha}}.$$
   Используем формулу
   $$0{,}5+0{,}5\cos\alpha=\frac{1+\cos\alpha}{2}=\cos^2\frac{\alpha}{2}.$$
   Тогда
   $$M=\sqrt{0{,}5+0{,}5\left|\cos\frac{\alpha}{2}\right|}.$$
   При $$0\le \alpha\le \pi$$ имеем $$0\le \frac{\alpha}{2}\le \frac{\pi}{2}$$, значит
   $$\left|\cos\frac{\alpha}{2}\right|=\cos\frac{\alpha}{2}.$$
   Следовательно,
   $$M=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\alpha}{2}}{2}}=\left|\cos\frac{\alpha}{4}\right|=\cos\frac{\alpha}{4}.$$

2. $$M=\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos 2\alpha}}-\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1+\cos 2\alpha}}.$$
   Так как
   $$1-\cos 2\alpha=2\sin^2\alpha,\qquad 1+\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha,$$
   то при $$0^\circ<\alpha<90^\circ$$ $$\sqrt{1-\cos 2\alpha}=\sqrt2\,\sin\alpha,\qquad \sqrt{1+\cos 2\alpha}=\sqrt2\,\cos\alpha.$$ Тогда $$M=\frac{\cos\alpha}{\sqrt2\,\sin\alpha}-\frac{\sin\alpha}{\sqrt2\,\cos\alpha} =\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sqrt2\,\sin\alpha\cos\alpha}.$$ Используем формулы $$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos 2\alpha,\qquad 2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha.$$ Получаем $$M=\frac{\cos 2\alpha}{\sqrt2\,\sin\alpha\cos\alpha} =\sqrt2\,\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} =\sqrt2\,\ctg 2\alpha.$$

3. $$M=\frac{\sin\left(45^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)}{\sqrt{1-\sin\alpha}}-\frac{\sin\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)}{\sqrt{1+\sin\alpha}}.$$
   Используем формулы:
   $$\sin\left(45^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{2}},\qquad \sin\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{2}}.$$
   Тогда
   $$M=\frac{\sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{2}}}{\sqrt{1-\sin\alpha}}-\frac{\sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{2}}}{\sqrt{1+\sin\alpha}}.$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$M=\frac{1}{\sqrt2}\left(\sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}}-\sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}}\right).$$
   После преобразования получаем
   $$M=\frac{(1+\sin\alpha)-(1-\sin\alpha)}{\sqrt{2(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}}.$$
   Так как
   $$(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)=1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha,$$
   то
   $$M=\frac{2\sin\alpha}{\sqrt2\,\cos\alpha}=\sqrt2\,\tg\alpha.$$

Ответ

1) $$\cos\frac{\alpha}{4}$$;
2) $$\sqrt2\,\ctg 2\alpha$$;
3) $$\sqrt2\,\tg\alpha$$.