Упр.26.44 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 26.44. Докажите тождество sin^3(2?)cos(6?)+cos^3(2?)sin(6?)=3/4sin(8?).

Подробный ответ

Преобразуем левую часть:

$$ \sin^3 2\alpha \cos 6\alpha + \cos^3 2\alpha \sin 6\alpha $$
$$ = \sin 2\alpha \cos 6\alpha \sin^2 2\alpha + \sin 6\alpha \cos 2\alpha \cos^2 2\alpha $$
$$ = \sin 2\alpha \cos 6\alpha \bigl(1-\cos^2 2\alpha\bigr) + \sin 6\alpha \cos 2\alpha \bigl(1-\sin^2 2\alpha\bigr) $$
$$ = \sin 2\alpha \cos 6\alpha + \sin 6\alpha \cos 2\alpha — \sin 2\alpha \cos 6\alpha \cos^2 2\alpha — \sin 6\alpha \cos 2\alpha \sin^2 2\alpha. $$

Сгруппируем первые два слагаемых:

$$ \sin 2\alpha \cos 6\alpha + \sin 6\alpha \cos 2\alpha = \sin 8\alpha. $$

Для оставшейся части используем формулу
$$ \sin x \cos y = \frac12\bigl(\sin(x+y)+\sin(x-y)\bigr). $$
Тогда

$$ \sin 2\alpha \cos 6\alpha = \frac12(\sin 8\alpha — \sin 4\alpha), $$
$$ \sin 6\alpha \cos 2\alpha = \frac12(\sin 8\alpha + \sin 4\alpha). $$

Следовательно,

$$ \sin^3 2\alpha \cos 6\alpha + \cos^3 2\alpha \sin 6\alpha = \sin 8\alpha — \frac12 \sin 4\alpha \cos 2\alpha \cos 6\alpha — \frac12 \sin 4\alpha \sin 6\alpha \cos 2\alpha. $$

Объединим последние два слагаемых:

$$ = \sin 8\alpha — \frac12 \sin 4\alpha \bigl(\cos 2\alpha \cos 6\alpha + \sin 2\alpha \sin 6\alpha\bigr). $$

По формуле косинуса разности:

$$ \cos 2\alpha \cos 6\alpha + \sin 2\alpha \sin 6\alpha = \cos 4\alpha. $$

Тогда

$$ \sin^3 2\alpha \cos 6\alpha + \cos^3 2\alpha \sin 6\alpha = \sin 8\alpha — \frac12 \sin 4\alpha \cos 4\alpha. $$

Так как
$$ \sin 4\alpha \cos 4\alpha = \frac12 \sin 8\alpha, $$
получаем

$$ \sin^3 2\alpha \cos 6\alpha + \cos^3 2\alpha \sin 6\alpha = \sin 8\alpha — \frac14 \sin 8\alpha = \frac34 \sin 8\alpha. $$