Упр.26.43 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите тождество $$\sin(3?)\sin^3(?) + \cos(3?)\cos^3(?) = \cos^3(2?)$$.

$$\sin 3\alpha \sin^3 \alpha+\cos 3\alpha \cos^3 \alpha$$

$$=\sin 3\alpha \sin \alpha \sin^2 \alpha+\cos 3\alpha \cos \alpha \cos^2 \alpha$$

$$=\sin 3\alpha \sin \alpha\,(1-\cos^2 \alpha)+\cos 3\alpha \cos \alpha\,(1-\sin^2 \alpha)$$

$$=\sin 3\alpha \sin \alpha+\cos 3\alpha \cos \alpha-\sin 3\alpha \sin \alpha \cos^2 \alpha-\cos 3\alpha \cos \alpha \sin^2 \alpha$$

$$=\cos 2\alpha-\sin \alpha \cos \alpha\bigl(\sin 3\alpha \cos \alpha+\cos 3\alpha \sin \alpha\bigr)$$

$$=\cos 2\alpha-\frac12 \sin 2\alpha \sin 4\alpha$$

$$=\cos 2\alpha-\frac12 \sin 2\alpha \cdot 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha$$

$$=\cos 2\alpha-\sin^2 2\alpha \cos 2\alpha$$

$$=\cos 2\alpha\,(1-\sin^2 2\alpha)=\cos^3 2\alpha.$$

Тождество доказано.

Ответ: $$\sin 3\alpha \sin^3 \alpha+\cos 3\alpha \cos^3 \alpha=\cos^3 2\alpha.$$