Упр.26.43 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 26.43. Докажите тождество sin(3?)sin^3(?)+cos(3?)cos^3(?)=cos^3(2?).

$$ \sin 3\alpha \sin^3 \alpha+\cos 3\alpha \cos^3 \alpha $$
$$ =\sin 3\alpha \sin \alpha \sin^2 \alpha+\cos 3\alpha \cos \alpha \cos^2 \alpha $$
$$ =\sin 3\alpha \sin \alpha(1-\cos^2 \alpha)+\cos 3\alpha \cos \alpha(1-\sin^2 \alpha) $$
$$ =\sin 3\alpha \sin \alpha+\cos 3\alpha \cos \alpha-\sin 3\alpha \sin \alpha \cos^2 \alpha-\cos 3\alpha \cos \alpha \sin^2 \alpha $$
$$ =\cos 2\alpha-\frac12 \sin 2\alpha \sin 3\alpha \cos \alpha-\frac12 \sin 2\alpha \sin \alpha \cos 3\alpha $$
$$ =\cos 2\alpha-\frac12 \sin 2\alpha\bigl(\sin 3\alpha \cos \alpha+\sin \alpha \cos 3\alpha\bigr) $$
$$ =\cos 2\alpha-\frac12 \sin 2\alpha \sin 4\alpha $$
$$ =\cos 2\alpha-\sin^2 2\alpha \cos 2\alpha $$
$$ =\cos 2\alpha(1-\sin^2 2\alpha) =\cos^3 2\alpha. $$

Ответ

$$ \sin 3\alpha \sin^3 \alpha+\cos 3\alpha \cos^3 \alpha=\cos^3 2\alpha. $$