Упр.26.42 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что:
   1) $$\operatorname{tg}(?)\operatorname{tg}(60^\circ-?)\operatorname{tg}(60^\circ+?)=\operatorname{tg}(3?)$$;
   2) $$\operatorname{tg}(20^\circ)\operatorname{tg}(40^\circ)\operatorname{tg}(80^\circ)=\sqrt{3}$$.

1) Используем формулы сложения и вычитания тангенса:

$$\tg(60^\circ-\alpha)=\frac{\tg 60^\circ-\tg \alpha}{1+\tg 60^\circ \tg \alpha}, \qquad \tg(60^\circ+\alpha)=\frac{\tg 60^\circ+\tg \alpha}{1-\tg 60^\circ \tg \alpha}.$$

Так как $$\tg 60^\circ=\sqrt{3},$$ то

$$\tg \alpha \cdot \tg(60^\circ-\alpha)\cdot \tg(60^\circ+\alpha) = \tg \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}-\tg \alpha}{1+\sqrt{3}\tg \alpha}\cdot \frac{\sqrt{3}+\tg \alpha}{1-\sqrt{3}\tg \alpha}.$$

Перемножим дроби:

$$\tg \alpha \cdot \frac{3-\tg^2 \alpha}{1-3\tg^2 \alpha} = \frac{3\tg \alpha-\tg^3 \alpha}{1-3\tg^2 \alpha}.$$

По формуле тангенса тройного угла получаем:

$$\frac{3\tg \alpha-\tg^3 \alpha}{1-3\tg^2 \alpha}=\tg 3\alpha.$$

Следовательно,

$$\tg \alpha \cdot \tg(60^\circ-\alpha)\cdot \tg(60^\circ+\alpha)=\tg 3\alpha.$$

2) Подставим $$\alpha=20^\circ$$ в доказанное равенство:

$$\tg 20^\circ \cdot \tg 40^\circ \cdot \tg 80^\circ=\tg 60^\circ.$$

Так как $$\tg 60^\circ=\sqrt{3},$$ то

$$\tg 20^\circ \cdot \tg 40^\circ \cdot \tg 80^\circ=\sqrt{3}.$$

Ответ: 1) $$\tg \alpha \cdot \tg(60^\circ-\alpha)\cdot \tg(60^\circ+\alpha)=\tg 3\alpha$$; 2) $$\tg 20^\circ \cdot \tg 40^\circ \cdot \tg 80^\circ=\sqrt{3}.$$