Упр.26.42 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) tg(?)tg(60°-?)tg(60°+?)=tg(3?);
2) tg(20°)tg(40°)tg(80°)=v3.

1) Используем формулы для тангенса суммы и разности:

$$ \tg(60^\circ-\alpha)=\frac{\tg 60^\circ-\tg \alpha}{1+\tg 60^\circ \tg \alpha}, \qquad \tg(60^\circ+\alpha)=\frac{\tg 60^\circ+\tg \alpha}{1-\tg 60^\circ \tg \alpha}. $$

Так как $$\tg 60^\circ=\sqrt{3},$$ получаем

$$ \tg \alpha \cdot \tg(60^\circ-\alpha)\cdot \tg(60^\circ+\alpha) = \tg \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}-\tg \alpha}{1+\sqrt{3}\tg \alpha}\cdot \frac{\sqrt{3}+\tg \alpha}{1-\sqrt{3}\tg \alpha}. $$

Перемножим числители и знаменатели:

$$ \tg \alpha \cdot \frac{3-\tg^2 \alpha}{1-3\tg^2 \alpha} = \frac{3\tg \alpha-\tg^3 \alpha}{1-3\tg^2 \alpha}. $$

По формуле тангенса тройного угла

$$ \tg 3\alpha=\frac{3\tg \alpha-\tg^3 \alpha}{1-3\tg^2 \alpha}. $$

Следовательно,

$$ \tg \alpha \cdot \tg(60^\circ-\alpha)\cdot \tg(60^\circ+\alpha)=\tg 3\alpha. $$

2) Возьмём $$\alpha=20^\circ$$ в доказанном равенстве:

$$ \tg 20^\circ \cdot \tg 40^\circ \cdot \tg 80^\circ=\tg 60^\circ. $$

Так как $$\tg 60^\circ=\sqrt{3},$$ то

$$ \tg 20^\circ \cdot \tg 40^\circ \cdot \tg 80^\circ=\sqrt{3}. $$

Ответ

$$ 1)\ \tg \alpha \cdot \tg(60^\circ-\alpha)\cdot \tg(60^\circ+\alpha)=\tg 3\alpha; \qquad 2)\ \tg 20^\circ \cdot \tg 40^\circ \cdot \tg 80^\circ=\sqrt{3}. $$