Упр.26.40 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) v((ctg(?)-tg(?))2ctg(2?))·tg(2?)+2, если ?/2 < ? < 3?/4; 2) v(cos(2?)/(ctg^2(?)-tg^2(?))), если ?/2 < ? < 3?/4.

Подробный ответ

1) Рассмотрим выражение

$$\sqrt{(\ctg \alpha-\tg \alpha)\cdot 2\ctg 2\alpha\cdot \tg 2\alpha}+2.$$

Используем формулу

$$\ctg \alpha-\tg \alpha=\frac{1-\tg^2\alpha}{\tg \alpha}=\frac{2\ctg 2\alpha}{\ctg \alpha}.$$

Тогда

$$ \sqrt{(\ctg \alpha-\tg \alpha)\cdot 2\ctg 2\alpha\cdot \tg 2\alpha}+2 = \sqrt{\frac{2\ctg 2\alpha}{\ctg \alpha}\cdot 2\ctg 2\alpha\cdot \tg 2\alpha}+2. $$

Так как $$\ctg 2\alpha\cdot \tg 2\alpha=1,$$ получаем

$$ \sqrt{\frac{4\ctg^2 2\alpha}{\ctg \alpha}}+2 = \frac{2|\ctg 2\alpha|}{\ctg \alpha}+2. $$

При $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{4}$$ имеем $$\frac{\pi}{2}<2\alpha<\frac{3\pi}{2},$$ поэтому $$\ctg 2\alpha<0$$ и $$|\ctg 2\alpha|=-\ctg 2\alpha.$$ Кроме того, $$\ctg \alpha<0.$$ Следовательно,

$$\frac{2|\ctg 2\alpha|}{\ctg \alpha}=2,$$

значит, всё выражение равно

$$2+2=4.$$

2) Рассмотрим выражение

$$\sqrt{\frac{\cos 2\alpha}{\ctg^2\alpha-\tg^2\alpha}}.$$

Преобразуем знаменатель:

$$ \ctg^2\alpha-\tg^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = \frac{(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}. $$

Тогда

$$ \sqrt{\frac{\cos 2\alpha}{\ctg^2\alpha-\tg^2\alpha}} = \sqrt{\frac{\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha/(\sin^2\alpha\cos^2\alpha)}} = \sqrt{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = |\sin\alpha\cos\alpha|. $$

Так как $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{4},$$ то $$\sin\alpha>0,$$ $$\cos\alpha<0,$$ значит

$$|\sin\alpha\cos\alpha|=-\sin\alpha\cos\alpha=\frac12|\sin 2\alpha|.$$

При $$\frac{\pi}{2}<2\alpha<\frac{3\pi}{2}$$ имеем $$\sin 2\alpha<0,$$ поэтому

$$\frac12|\sin 2\alpha|=-\frac12\sin 2\alpha.$$