Упр.26.39 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) v((ctg^2(?)-tg^2(?))cos(2?))·tg(2?), если ?/4 < ? < ?/2; 2) v(sin(4?)/(ctg(?)-tg(?)))·1/sin(2?)+1, если 3?/4 < ? < ?.

Подробный ответ

1) Рассмотрим выражение

$$\sqrt{(\ctg^2\alpha-\tg^2\alpha)\cos 2\alpha}\cdot \tg 2\alpha.$$

Преобразуем разность:

$$\ctg^2\alpha-\tg^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} =\frac{\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}.$$

Так как

$$\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos 2\alpha,$$

то

$$\sqrt{(\ctg^2\alpha-\tg^2\alpha)\cos 2\alpha}\cdot \tg 2\alpha =\sqrt{\frac{\cos 2\alpha\cdot \cos 2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}}\cdot \tg 2\alpha.$$

Используем формулу $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$:

$$\sqrt{\frac{4\cos^2 2\alpha}{\sin^2 2\alpha}}\cdot \tg 2\alpha =2\cdot \frac{|\cos 2\alpha|}{\sin 2\alpha}\cdot \tg 2\alpha.$$

При $$\frac{\pi}{4}<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ имеем $$\frac{\pi}{2}<2\alpha<\pi,$$ значит $$\cos 2\alpha<0,$$ поэтому $$|\cos 2\alpha|=-\cos 2\alpha.$$ Тогда

$$2\cdot \frac{|\cos 2\alpha|}{\sin 2\alpha}\cdot \tg 2\alpha =2\cdot \frac{-\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}\cdot \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}=-2.$$

2) Рассмотрим выражение

$$\sqrt{\frac{\sin 4\alpha}{\ctg\alpha-\tg\alpha}}\cdot \frac{1}{\sin 2\alpha}+1.$$

Преобразуем дробь под корнем:

$$\ctg\alpha-\tg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} =\frac{\cos 2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}.$$

Тогда

$$\frac{\sin 4\alpha}{\ctg\alpha-\tg\alpha} =\frac{2\sin 2\alpha\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha/(\sin\alpha\cos\alpha)} =2\sin 2\alpha\sin\alpha\cos\alpha =\sin^2 2\alpha.$$

Следовательно,

$$\sqrt{\frac{\sin 4\alpha}{\ctg\alpha-\tg\alpha}}\cdot \frac{1}{\sin 2\alpha}+1 =\frac{|\sin 2\alpha|}{\sin 2\alpha}+1.$$

При $$\frac{3\pi}{4}<\alpha<\pi$$ имеем $$\frac{3\pi}{2}<2\alpha<2\pi,$$ значит $$\sin 2\alpha<0,$$ поэтому

$$\frac{|\sin 2\alpha|}{\sin 2\alpha}=-1.$$

Тогда

$$-1+1=0.$$