Упр.26.39 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Упростите выражение: а) $$\sqrt{\left(\operatorname{ctg}^2\alpha-\operatorname{tg}^2\alpha\right)\cos(2\alpha)}\cdot\operatorname{tg}(2\alpha)$$, если $$\frac{\pi}{4}<\alpha<\frac{\pi}{2}$$; б) $$\sqrt{\frac{\sin(4\alpha)}{\operatorname{ctg}\alpha-\operatorname{tg}\alpha}}\cdot\frac{1}{\sin(2\alpha)}+1$$, если $$\frac{3\pi}{4}<\alpha<\pi$$.
1) $$\sqrt{(\ctg^2\alpha-\tg^2\alpha)\cos 2\alpha}\cdot \tg 2\alpha$$
Преобразуем выражение под корнем:
$$\ctg^2\alpha-\tg^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=\frac{\cos 2\alpha}{\frac14\sin^2 2\alpha}.$$
Тогда
$$\sqrt{(\ctg^2\alpha-\tg^2\alpha)\cos 2\alpha}\cdot \tg 2\alpha =\sqrt{\frac{\cos^2 2\alpha}{\frac14\sin^2 2\alpha}}\cdot \tg 2\alpha =2\cdot \frac{|\cos 2\alpha|}{|\sin 2\alpha|}\cdot \tg 2\alpha.$$
Так как $$\frac{\pi}{4}<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то $$\frac{\pi}{2}<2\alpha<\pi,$$ значит $$\sin 2\alpha>0,$$ а $$\cos 2\alpha<0.$$ Поэтому
$$2\cdot \frac{|\cos 2\alpha|}{|\sin 2\alpha|}\cdot \tg 2\alpha =2\cdot \frac{-\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}\cdot \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}=-2.$$
2) $$\sqrt{\frac{\sin 4\alpha}{\ctg\alpha-\tg\alpha}}\cdot \frac{1}{\sin 2\alpha}+1$$
Преобразуем дробь под корнем:
$$\ctg\alpha-\tg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} =\frac{\cos 2\alpha}{\frac12\sin 2\alpha}.$$
Кроме того, $$\sin 4\alpha=2\sin 2\alpha\cos 2\alpha.$$ Тогда
$$\frac{\sin 4\alpha}{\ctg\alpha-\tg\alpha} =\frac{2\sin 2\alpha\cos 2\alpha}{\frac{\cos 2\alpha}{\frac12\sin 2\alpha}} =\sin^2 2\alpha.$$
Следовательно,
$$\sqrt{\frac{\sin 4\alpha}{\ctg\alpha-\tg\alpha}}\cdot \frac{1}{\sin 2\alpha}+1 =\sqrt{\sin^2 2\alpha}\cdot \frac{1}{\sin 2\alpha}+1 =\frac{|\sin 2\alpha|}{\sin 2\alpha}+1.$$
Так как $$\frac{3\pi}{4}<\alpha<\pi,$$ то $$\frac{3\pi}{2}<2\alpha<2\pi,$$ а значит $$\sin 2\alpha<0.$$ Поэтому
$$\frac{|\sin 2\alpha|}{\sin 2\alpha}+1=-1+1=0.$$
Ответ
1) $$-2$$; 2) $$0$$.
