Упр.26.38 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (3+4cos(?)+cos(2?))/(3-4cos(?)+cos(2?));
2) (cos^4(?)-sin^4(?)-cos^2(?))/(2(cos(?)-1)).

1) Используем формулу $$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha — 1$$:

$$ \frac{3+4\cos\alpha+\cos 2\alpha}{3-4\cos\alpha+\cos 2\alpha} = \frac{3+4\cos\alpha+2\cos^2\alpha-1}{3-4\cos\alpha+2\cos^2\alpha-1} = \frac{2\cos^2\alpha+4\cos\alpha+2}{2\cos^2\alpha-4\cos\alpha+2} $$

$$ = \frac{2(\cos\alpha+1)^2}{2(\cos\alpha-1)^2} = \left(\frac{\cos\alpha+1}{\cos\alpha-1}\right)^2 $$

По формуле половинного угла:

$$ \left(\frac{\cos\alpha+1}{\cos\alpha-1}\right)^2=\ctg^4\frac{\alpha}{2} $$

2) Преобразуем числитель:

$$ \cos^4\alpha-\sin^4\alpha-\cos^2\alpha = (\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)-\cos^2\alpha $$

$$ = (\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)-\cos^2\alpha = -\sin^2\alpha $$

Тогда

$$ \frac{\cos^4\alpha-\sin^4\alpha-\cos^2\alpha}{2(\cos\alpha-1)} = \frac{-\sin^2\alpha}{2(\cos\alpha-1)} $$

Используем тождество $$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)$$:

$$ \frac{-\sin^2\alpha}{2(\cos\alpha-1)} = \frac{-(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{2(\cos\alpha-1)} = \frac{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{2(1-\cos\alpha)} = \frac{1+\cos\alpha}{2} $$

$$ \frac{1+\cos\alpha}{2}=\cos^2\frac{\alpha}{2} $$

Ответ

1) $$\ctg^4\frac{\alpha}{2}$$;
2) $$\cos^2\frac{\alpha}{2}$$.