Упр.26.37 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3+4cos(4?)+cos(8?)=8cos^4(2?);
2) (cos^2(4?-3?)-4cos^2(2?-?)+3)/(cos^2(4?+3?)+4cos^2(2?+?))=tg^4(2?).

1) Преобразуем левую часть, используя формулы

$$\cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha — 1,$$

$$\cos 8\alpha = 2\cos^2 4\alpha — 1.$$

Тогда

$$ \begin{aligned} 3+4\cos 4\alpha+\cos 8\alpha &=3+4(2\cos^2 2\alpha-1)+(2\cos^2 4\alpha-1)\\ &=3+8\cos^2 2\alpha-4+2(2\cos^2 2\alpha-1)^2-1\\ &=8\cos^2 2\alpha-2+2(4\cos^4 2\alpha-4\cos^2 2\alpha+1)\\ &=8\cos^2 2\alpha-2+8\cos^4 2\alpha-8\cos^2 2\alpha+2\\ &=8\cos^4 2\alpha. \end{aligned} $$

Тождество доказано.

2) Используем формулы

$$\cos(4\alpha-3\pi)=\cos 4\alpha,\qquad \cos(2\alpha-\pi)=-\cos 2\alpha,$$

$$\cos(4\alpha+3\pi)=-\cos 4\alpha,\qquad \cos(2\alpha+\pi)=-\cos 2\alpha.$$

Тогда

$$ \frac{\cos^2(4\alpha-3\pi)-4\cos^2(2\alpha-\pi)+3}{\cos^2(4\alpha+3\pi)+4\cos^2(2\alpha+\pi)-1} = \frac{\cos^2 4\alpha-4\cos^2 2\alpha+3}{\cos^2 4\alpha+4\cos^2 2\alpha-1}. $$

Положим $$c=\cos 2\alpha.$$ Тогда

$$\cos 4\alpha=2c^2-1,\qquad \cos^2 4\alpha=(2c^2-1)^2.$$

Подставим:

$$ \begin{aligned} \cos^2 4\alpha-4\cos^2 2\alpha+3 &=(2c^2-1)^2-4c^2+3\\ &=4c^4-4c^2+1-4c^2+3\\ &=4c^4-8c^2+4\\ &=4(c^2-1)^2=4\sin^4 2\alpha, \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \cos^2 4\alpha+4\cos^2 2\alpha-1 &=(2c^2-1)^2+4c^2-1\\ &=4c^4-4c^2+1+4c^2-1\\ &=4c^4=4\cos^4 2\alpha. \end{aligned} $$

Следовательно,

$$ \frac{\cos^2(4\alpha-3\pi)-4\cos^2(2\alpha-\pi)+3}{\cos^2(4\alpha+3\pi)+4\cos^2(2\alpha+\pi)-1} = \frac{4\sin^4 2\alpha}{4\cos^4 2\alpha} = \tg^4 2\alpha. $$

Тождество доказано.

Ответ

1) $$3+4\cos 4\alpha+\cos 8\alpha=8\cos^4 2\alpha.$$
2) $$\dfrac{\cos^2(4\alpha-3\pi)-4\cos^2(2\alpha-\pi)+3}{\cos^2(4\alpha+3\pi)+4\cos^2(2\alpha+\pi)-1}=\tg^4 2\alpha.$$