Упр.26.36 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 26.36. Вычислите sin^6(О±)+cos^6(О±), если О±=ПЂ/24.

$$\sin^6\alpha+\cos^6\alpha=(\sin^2\alpha)^3+(\cos^2\alpha)^3$$

Используем формулу суммы кубов:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

Тогда

$$ \sin^6\alpha+\cos^6\alpha =(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)(\sin^4\alpha-\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha) $$

Так как $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,$$ получаем

$$ \sin^6\alpha+\cos^6\alpha =1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha $$

Преобразуем произведение:

$$ \sin^2\alpha\cos^2\alpha=\frac14\sin^22\alpha $$

Тогда

$$ \sin^6\alpha+\cos^6\alpha =1-\frac34\sin^22\alpha $$

При $$\alpha=\frac{\pi}{24}$$ имеем $$2\alpha=\frac{\pi}{12},$$ значит

$$ \sin^6\alpha+\cos^6\alpha =1-\frac34\sin^2\frac{\pi}{12} $$

Используем формулу

$$ \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2} $$

Тогда

$$ 1-\frac34\cdot\frac{1-\cos\frac{\pi}{6}}{2} =1-\frac34\cdot\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2} =1-\frac{3}{8}+\frac{3\sqrt3}{16} =\frac{10+3\sqrt3}{16} $$

Ответ

$$\frac{10+3\sqrt3}{16}$$