Упр.26.35 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) sin^4(?)+cos^4(?);
2) sin^8(?)+cos^8(?).

Подробный ответ

Используем формулу $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ и преобразуем выражения через $$\sin^2\alpha\cos^2\alpha$$.

$$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$$
Так как $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$, то
$$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$$
Найдём $$\sin^2\alpha\cos^2\alpha$$ через $$\cos 4\alpha$$:
$$\cos 4\alpha=1-8\sin^2\alpha\cos^2\alpha,$$
откуда
$$\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\frac{1-\cos 4\alpha}{8}.$$
Тогда
$$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2\cdot \frac{1-\cos 4\alpha}{8}=\frac{3+\cos 4\alpha}{4}.$$
$$\sin^8\alpha+\cos^8\alpha=(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha)^2-2\sin^4\alpha\cos^4\alpha.$$
Но удобнее представить так:
$$\sin^8\alpha+\cos^8\alpha=(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha)^2-2(\sin^2\alpha\cos^2\alpha)^2.$$
Подставим найденные выражения:
$$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=\frac{3+\cos 4\alpha}{4},$$
$$\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\frac{1-\cos 4\alpha}{8}.$$
Тогда
$$\sin^8\alpha+\cos^8\alpha=\left(\frac{3+\cos 4\alpha}{4}\right)^2-2\left(\frac{1-\cos 4\alpha}{8}\right)^2.$$
Упростим:
$$\sin^8\alpha+\cos^8\alpha=\frac{(3+\cos 4\alpha)^2-(1-\cos 4\alpha)^2/2}{16}.$$
Раскроем скобки аккуратно:
$$\left(\frac{3+\cos 4\alpha}{4}\right)^2=\frac{9+6\cos 4\alpha+\cos^2 4\alpha}{16},$$
$$2\left(\frac{1-\cos 4\alpha}{8}\right)^2=\frac{1-2\cos 4\alpha+\cos^2 4\alpha}{32}.$$
Тогда
$$\sin^8\alpha+\cos^8\alpha=\frac{18+12\cos 4\alpha+2\cos^2 4\alpha-(1-2\cos 4\alpha+\cos^2 4\alpha)}{32},$$
$$\sin^8\alpha+\cos^8\alpha=\frac{17+14\cos 4\alpha+\cos^2 4\alpha}{32}.$$
Теперь выразим $$\cos^2 4\alpha$$ через $$\cos 8\alpha$$:
$$\cos 8\alpha=2\cos^2 4\alpha-1,$$
значит
$$\cos^2 4\alpha=\frac{1+\cos 8\alpha}{2}.$$
Подставим:
$$\sin^8\alpha+\cos^8\alpha=\frac{17+14\cos 4\alpha+\frac{1+\cos 8\alpha}{2}}{32}.$$
Итак,
$$\sin^8\alpha+\cos^8\alpha=\frac{35+28\cos 4\alpha+\cos 8\alpha}{64}.$$