Упр.26.34 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) sin(54°)cos(72°)=1/4;
2) 8cos(?/7)cos(2?/7)cos(4?/7)=-1;
3) cos(3?)cos(6?)cos(12?)=sin(24?)/(8sin(3?)).

Подробный ответ

Используем формулу произведения синуса и косинуса:
$$\sin 54^\circ \cos 72^\circ=\sin(90^\circ-36^\circ)\cos(90^\circ-18^\circ).$$
Удобнее преобразовать через формулу
$$2\sin x\cos y=\sin(x+y)+\sin(x-y).$$
Тогда
$$2\sin 54^\circ\cos 72^\circ=\sin 126^\circ+\sin(-18^\circ)=\sin 126^\circ-\sin 18^\circ.$$
Но проще воспользоваться тождеством из решения:
$$\sin 54^\circ\cos 72^\circ=\frac{\sin 36^\circ\cos 36^\circ\cos 72^\circ}{\sin 36^\circ}.$$
Так как
$$2\sin 36^\circ\cos 36^\circ=\sin 72^\circ,$$
то
$$\sin 54^\circ\cos 72^\circ=\frac{\sin 72^\circ\cos 72^\circ}{2\sin 36^\circ}.$$
Далее
$$2\sin 72^\circ\cos 72^\circ=\sin 144^\circ,$$
значит
$$\sin 54^\circ\cos 72^\circ=\frac{\sin 144^\circ}{4\sin 36^\circ}.$$
Но
$$\sin 144^\circ=\sin(180^\circ-36^\circ)=\sin 36^\circ,$$
следовательно,
$$\sin 54^\circ\cos 72^\circ=\frac14.$$
Рассмотрим выражение
$$8\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}.$$
Используем формулу
$$2\sin x\cos y=\sin(x+y)+\sin(x-y).$$
Тогда
$$\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}=\frac18\sin\frac{8\pi}{7}.$$
С другой стороны,
$$\sin\frac{8\pi}{7}=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{7}\right)=-\sin\frac{\pi}{7}.$$
Значит,
$$8\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}=-1.$$
Преобразуем левую часть:
$$8\sin 3\alpha\cos 3\alpha\cos 6\alpha\cos 12\alpha.$$
Сначала
$$2\sin 3\alpha\cos 3\alpha=\sin 6\alpha,$$
поэтому
$$8\sin 3\alpha\cos 3\alpha\cos 6\alpha\cos 12\alpha=4\sin 6\alpha\cos 6\alpha\cos 12\alpha.$$
Далее
$$2\sin 6\alpha\cos 6\alpha=\sin 12\alpha,$$
значит
$$4\sin 6\alpha\cos 6\alpha\cos 12\alpha=2\sin 12\alpha\cos 12\alpha.$$
И ещё раз:
$$2\sin 12\alpha\cos 12\alpha=\sin 24\alpha.$$
Следовательно,
$$8\sin 3\alpha\cos 3\alpha\cos 6\alpha\cos 12\alpha=\sin 24\alpha.$$
Отсюда
$$\cos 3\alpha\cos 6\alpha\cos 12\alpha=\frac{\sin 24\alpha}{8\sin 3\alpha}.$$