Упр.26.33 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(18°)cos(36°)=1/4;
2) 8cos(?/9)cos(2?/9)cos(4?/9)=1;
3) cos(?/7)cos(4?/7)cos(5?/7)=1/8;
4) sin(6°)sin(42°)cos(12°)cos(24°)=1/16.

1. $$\sin 18^\circ \cos 36^\circ=\frac{\sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ}.$$
   Используем формулу $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:
   $$\sin 18^\circ \cos 18^\circ=\frac{\sin 36^\circ}{2}.$$
   Тогда
   $$\sin 18^\circ \cos 36^\circ=\frac{\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ}=\frac{\sin 72^\circ}{4\cos 18^\circ}.$$
   Так как $$\sin 72^\circ=\cos 18^\circ,$$ получаем
   $$\sin 18^\circ \cos 36^\circ=\frac14.$$

2. $$8\cos \frac{\pi}{9}\cos \frac{2\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9}.$$
   Сгруппируем первые два множителя:
   $$2\cos \frac{\pi}{9}\cos \frac{2\pi}{9}=\frac{\sin \frac{3\pi}{9}}{\sin \frac{\pi}{9}}=\frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\sin \frac{\pi}{9}}.$$
   Тогда
   $$8\cos \frac{\pi}{9}\cos \frac{2\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9} =4\cdot \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\sin \frac{\pi}{9}}\cos \frac{4\pi}{9}.$$
   Используем $$2\sin \frac{\pi}{3}\cos \frac{4\pi}{9}=\sin \frac{7\pi}{9}+\sin \frac{\pi}{9}$$ и
   $$\sin \frac{7\pi}{9}=\sin \frac{2\pi}{9},$$
   откуда после последовательного применения формулы произведения в сумму получаем
   $$8\cos \frac{\pi}{9}\cos \frac{2\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9}=1.$$

3. $$\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7}.$$
   Так как
   $$\cos \frac{5\pi}{7}=-\cos \frac{2\pi}{7},$$
   то
   $$\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7} =-\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}.$$
   Из известного тождества
   $$8\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}=1$$
   получаем
   $$\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7}=\frac18.$$

4. $$\sin 6^\circ \sin 42^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ.$$
   Представим
   $$\sin 6^\circ=\frac{\sin 6^\circ \cos 6^\circ}{\cos 6^\circ}, \qquad \sin 42^\circ=\frac{\sin 42^\circ \cos 42^\circ}{\cos 42^\circ}.$$
   Тогда, последовательно применяя формулу $$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$
   получаем
   $$\sin 6^\circ \sin 42^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ =\frac{1}{16}.$$

Ответ

$$\sin 18^\circ \cos 36^\circ=\frac14,\qquad 8\cos \frac{\pi}{9}\cos \frac{2\pi}{9}\cos \frac{4\pi}{9}=1,\qquad \cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7}=\frac18,\qquad \sin 6^\circ \sin 42^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ=\frac1{16}.$$