Упр.26.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(2?)/(sin^2(2?)(ctg^2(?)-tg^2(?)));
2) (sin^2(?-?)-4cos^2(3?/2-?/2))/(cos^2(?-5?/2)-4+4cos^2(?/2+?/2));
3) sin(?/4-?)sin(?/4+?)/(sin(3?)cos(?)-cos(3?)sin(?));
4) tg(5?/4-4?)sin^2(5?/4+4?)/(1-2cos^2(4?)).

1. $$\frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha(\ctg^2\alpha-\tg^2\alpha)}$$

   $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \ctg^2\alpha-\tg^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$$

   $$\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos 2\alpha$$

   Тогда
   $$\frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha(\ctg^2\alpha-\tg^2\alpha)}=\frac{\cos 2\alpha}{4\sin^2\alpha\cos^2\alpha\cdot \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}}=\frac{1}{4}.$$

2. $$\frac{\sin^2(\alpha-\pi)-4\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos^2\left(\alpha-\frac{5\pi}{2}\right)-4+4\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{2}\right)}$$

   Используем формулы приведения:
   $$\sin(\alpha-\pi)=-\sin\alpha,\qquad \cos\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)=-\sin\frac{\alpha}{2},$$
   $$\cos\left(\alpha-\frac{5\pi}{2}\right)=\sin\alpha,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{2}\right)=-\sin\frac{\alpha}{2}.$$

   Тогда
   $$\frac{\sin^2\alpha-4\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\alpha-4+4\sin^2\frac{\alpha}{2}}.$$

   Так как $$\sin^2\alpha=4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2},$$ получаем
   $$\frac{4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}-4\sin^2\frac{\alpha}{2}}{4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}-4+4\sin^2\frac{\alpha}{2}}.$$

   Вынесем общий множитель:
   $$\frac{4\sin^2\frac{\alpha}{2}\left(\cos^2\frac{\alpha}{2}-1\right)}{4\cos^2\frac{\alpha}{2}\left(\sin^2\frac{\alpha}{2}-1\right)}= \frac{4\sin^2\frac{\alpha}{2}\left(-\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)}{4\cos^2\frac{\alpha}{2}\left(-\cos^2\frac{\alpha}{2}\right)}= \frac{\sin^4\frac{\alpha}{2}}{\cos^4\frac{\alpha}{2}}=\tg^4\frac{\alpha}{2}.$$

3. $$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}{\sin 3\alpha\cos\alpha-\cos 3\alpha\sin\alpha}$$

   В знаменателе:
   $$\sin 3\alpha\cos\alpha-\cos 3\alpha\sin\alpha=\sin(3\alpha-\alpha)=\sin 2\alpha.$$

   В числителе используем формулу произведения:
   $$\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}-2\alpha\right).$$

   Тогда
   $$\frac{\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}-2\alpha\right)}{\sin 2\alpha} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} =\frac{1}{2}\ctg 2\alpha.$$

4. $$\frac{\tg\left(\frac{5\pi}{4}-4\alpha\right)\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}+4\alpha\right)}{1-2\cos^2 4\alpha}$$

   Преобразуем:
   $$\tg\left(\frac{5\pi}{4}-4\alpha\right)=\tg\left(\frac{\pi}{4}-4\alpha\right),$$
   $$\sin\left(\frac{5\pi}{4}+4\alpha\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{4}-4\alpha\right).$$

   Тогда
   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-4\alpha\right)\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-4\alpha\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}-4\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-4\alpha\right).$$

   Знаменатель:
   $$1-2\cos^2 4\alpha=-(2\cos^2 4\alpha-1)=-\cos 8\alpha.$$

   Числитель:
   $$\sin\left(\frac{\pi}{4}-4\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-4\alpha\right)=\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}-8\alpha\right)=\frac{1}{2}\cos 8\alpha.$$

   Следовательно,
   $$\frac{\frac{1}{2}\cos 8\alpha}{-\cos 8\alpha}=-\frac{1}{2}.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{4}$$; 2) $$\tg^4\frac{\alpha}{2}$$; 3) $$\frac{1}{2}\ctg 2\alpha$$; 4) $$-\frac{1}{2}$$.