Упр.26.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Упростите выражение:

1. $$\cos^4(?) — 6\sin^2(?)\cos^2(?) + \sin^4(?)$$;
2. $$\frac{2\sin(4?)(1-\tg^2(2?))}{1+\ctg^2(?/2+2?)}$$;
3. $$\frac{\sin^2(2?) + 4\sin^4(?) — 4\sin^2(?)\cos^2(?)}{4-\sin^2(2?) — 4\sin^2(?)}$$;
4. $$\frac{2\sin^2(4?) — 1}{2\ctg(?/4+4?)\cos^2(5?/4-4?)}$$.

1) $$\cos^4\alpha-6\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\sin^4\alpha$$

$$=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)^2-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$$

$$=\cos^2 2\alpha-\sin^2 2\alpha=\cos 4\alpha.$$

2) $$\frac{2\sin 4\alpha\,(1-\tg^2 2\alpha)}{1+\ctg^2\left(\frac{\pi}{2}+2\alpha\right)}$$

Так как $$\ctg\left(\frac{\pi}{2}+2\alpha\right)=-\tg 2\alpha,$$ то

$$1+\ctg^2\left(\frac{\pi}{2}+2\alpha\right)=1+\tg^2 2\alpha.$$

Тогда

$$\frac{2\sin 4\alpha\,(1-\tg^2 2\alpha)}{1+\tg^2 2\alpha} =2\sin 4\alpha\cdot \cos 4\alpha =\sin 8\alpha.$$

3) $$\frac{\sin^2 2\alpha+4\sin^4\alpha-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{4-\sin^2 2\alpha-4\sin^2\alpha}$$

Преобразуем числитель и знаменатель:

$$\sin^2 2\alpha=4\sin^2\alpha\cos^2\alpha,$$

поэтому

$$\sin^2 2\alpha+4\sin^4\alpha-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha=4\sin^4\alpha.$$

Знаменатель:

$$4-\sin^2 2\alpha-4\sin^2\alpha=4-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha-4\sin^2\alpha$$

$$=4(1-\sin^2\alpha)-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha=4\cos^2\alpha(1-\sin^2\alpha)=4\cos^4\alpha.$$

Тогда

$$\frac{4\sin^4\alpha}{4\cos^4\alpha}=\tg^4\alpha.$$

4) $$\frac{2\sin^2 4\alpha-1}{2\ctg\left(\frac{\pi}{4}+4\alpha\right)\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}-4\alpha\right)}$$

Используем формулы:

$$2\sin^2 4\alpha-1=-\cos 8\alpha,$$

$$\ctg\left(\frac{\pi}{4}+4\alpha\right)=\ctg\left(4\alpha+\frac{\pi}{4}\right),$$

$$\cos\left(\frac{5\pi}{4}-4\alpha\right)=\cos\left(\pi-\left(4\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\right)=-\cos\left(4\alpha+\frac{\pi}{4}\right),$$

а значит

$$\cos^2\left(\frac{5\pi}{4}-4\alpha\right)=\sin^2\left(4\alpha+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\frac{-\cos 8\alpha}{2\ctg\left(4\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\sin^2\left(4\alpha+\frac{\pi}{4}\right)} =\frac{-\cos 8\alpha}{2\cos\left(4\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(4\alpha+\frac{\pi}{4}\right)}$$

$$=\frac{-\cos 8\alpha}{\sin\left(8\alpha+\frac{\pi}{2}\right)} =\frac{-\cos 8\alpha}{\cos 8\alpha}=-1.$$

Ответ

1) $$\cos 4\alpha$$; 2) $$\sin 8\alpha$$; 3) $$\tg^4\alpha$$; 4) $$-1$$.