Упр.26.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 26.30. Найдите sin(?), если cos(?/2)-sin(?/2)=-1/2.

Обозначим

$$\cos \frac{\alpha}{2}-\sin \frac{\alpha}{2}=-\frac12.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\cos \frac{\alpha}{2}-\sin \frac{\alpha}{2}\right)^2=\left(-\frac12\right)^2=\frac14.$$

Раскроем квадрат разности:

$$\cos^2 \frac{\alpha}{2}-2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}+\sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac14.$$

Используем формулы:

$$\cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2 \frac{\alpha}{2}=1,$$

$$2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}=\sin \alpha.$$

Тогда получаем:

$$1-\sin \alpha=\frac14.$$

Отсюда

$$\sin \alpha=1-\frac14=\frac34.$$

Ответ

$$\frac34$$