Упр.26.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 26.25. Дано: sin(?)=-v3/2, 90° < ?/2 < 135°. Найдите cos(?/2).

Подробный ответ

Используем формулу двойного угла:

$$\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}.$$

По условию $$\sin \alpha=-\frac{\sqrt3}{2}, \quad 90^\circ<\frac{\alpha}{2}<135^\circ.$$

Так как $$\frac{\alpha}{2}$$ лежит во II четверти, то

$$\cos \frac{\alpha}{2}<0.$$

Найдём возможное значение $$\cos \frac{\alpha}{2}$$ из формулы

$$\sin \alpha=2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}.$$

Пусть $$x=\cos \frac{\alpha}{2}.$$ Тогда

$$\sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-x^2}.$$

Подставим в формулу:

$$2x\sqrt{1-x^2}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Возведём в квадрат:

$$4x^2(1-x^2)=\frac34,$$

$$16x^4-16x^2+3=0.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда

$$16t^2-16t+3=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=16^2-4\cdot16\cdot3=64,$$

$$t=\frac{16\pm8}{32}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac34,\quad t_2=\frac14.$$

Значит,

$$x=\pm\frac{\sqrt3}{2}\quad \text{или} \quad x=\pm\frac12.$$

С учётом условия $$\cos \frac{\alpha}{2}<0$$ и того, что при $$90^\circ<\frac{\alpha}{2}<135^\circ$$ значение $$\cos \frac{\alpha}{2}$$ может быть только отрицательным, получаем

$$\cos \frac{\alpha}{2}=-\frac12.$$