Упр.26.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 26.24. Дано: sin(2?)=-v3/2, 135° < ? < 180°. Найдите sin(?).

Так как $$135^\circ<\alpha<180^\circ,$$ то угол $$\alpha$$ лежит во II четверти, значит $$\sin \alpha>0.$$

Из условия:

$$\sin 2\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Используем формулу двойного угла:

$$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha=2\sin \alpha \sqrt{1-\sin^2 \alpha}.$$

Тогда

$$2\sin \alpha \sqrt{1-\sin^2 \alpha}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Возведём в квадрат:

$$4\sin^2 \alpha \left(1-\sin^2 \alpha\right)=\frac{3}{4}.$$

Умножим на $$4$$:

$$16\sin^2 \alpha-16\sin^4 \alpha=3.$$

Обозначим $$x=\sin^2 \alpha.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

$$16x^2-16x+3=0.$$

Найдём корни:

$$D=16^2-4\cdot 16\cdot 3=256-192=64,$$

$$x=\frac{16\pm 8}{2\cdot 16}.$$

Отсюда

$$x_1=\frac14,\qquad x_2=\frac34.$$

Значит,

$$\sin \alpha=\pm \frac12 \quad \text{или} \quad \sin \alpha=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$

С учётом того, что $$\sin \alpha>0$$ и $$\alpha\in(135^\circ,180^\circ),$$ получаем только

$$\sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt3}{2}$$