Упр.26.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Дано: $$\sin(2\alpha)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$135^\circ<\alpha<180^\circ$$. Найдите $$\sin\alpha$$.

Так как $$135^\circ<\alpha<180^\circ,$$ то угол $$\alpha$$ лежит во II четверти, значит $$\sin \alpha>0.$$

Из условия:

$$\sin 2\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Используем формулу двойного угла:

$$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha=2\sin \alpha \sqrt{1-\sin^2 \alpha}.$$

Тогда

$$2\sin \alpha \sqrt{1-\sin^2 \alpha}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Возведём в квадрат:

$$4\sin^2 \alpha\,(1-\sin^2 \alpha)=\frac{3}{4}.$$

Умножим на $$4$$:

$$16\sin^2 \alpha-16\sin^4 \alpha=3.$$

Получаем уравнение

$$16\sin^4 \alpha-16\sin^2 \alpha+3=0.$$

Обозначим $$t=\sin^2 \alpha$$. Тогда

$$16t^2-16t+3=0.$$

$$D=(-16)^2-4\cdot 16\cdot 3=256-192=64.$$

$$t=\frac{16\pm 8}{32}.$$

Отсюда

$$t_1=\frac14,\qquad t_2=\frac34.$$

Значит,

$$\sin \alpha=\frac12 \quad \text{или} \quad \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Но при $$135^\circ<\alpha<180^\circ$$ имеем $$\sin \alpha<\sin 135^\circ=\frac{\sqrt2}{2},$$ поэтому подходит только

$$\sin \alpha=\frac12.$$

Ответ

$$\frac12$$