Упр.26.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 26.23. Докажите тождество (sin(3?)+4sin^3(?))/(cos(3?)-4cos^3(?))=(cos(3?)-cos^3(?))/(sin(3?)+sin^3(?)).

Подробный ответ

Используем формулы:

$$\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,$$

$$\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha.$$

Тогда

$$\sin 3\alpha+4\sin^3\alpha=3\sin\alpha,$$

$$\cos 3\alpha-4\cos^3\alpha=-3\cos\alpha.$$

Левая часть тождества преобразуется так:

$$\frac{\sin 3\alpha+4\sin^3\alpha}{\cos 3\alpha-4\cos^3\alpha} =\frac{3\sin\alpha}{-3\cos\alpha} =-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\cos 3\alpha-\cos^3\alpha=(4\cos^3\alpha-3\cos\alpha)-\cos^3\alpha =3\cos^3\alpha-3\cos\alpha,$$

$$\sin 3\alpha+\sin^3\alpha=(3\sin\alpha-4\sin^3\alpha)+\sin^3\alpha =3\sin\alpha-3\sin^3\alpha.$$

Тогда

$$\frac{\cos 3\alpha-\cos^3\alpha}{\sin 3\alpha+\sin^3\alpha} =\frac{3\cos^3\alpha-3\cos\alpha}{3\sin\alpha-3\sin^3\alpha} =\frac{\cos^3\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha-\sin^3\alpha}.$$

Вынесем множители:

$$\frac{\cos\alpha(\cos^2\alpha-1)}{\sin\alpha(1-\sin^2\alpha)} =\frac{\cos\alpha(-\sin^2\alpha)}{\sin\alpha\cos^2\alpha} =-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$$

Обе части равны одному и тому же выражению, значит тождество верно.