Упр.26.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (cos^3(?)-cos(3?))/cos(?)+(sin^3(?)+sin(3?))/sin(?)=3;
2) (sin^3(?)+sin(3?))/(cos^3(?)-cos(3?))=ctg(?).

Подробный ответ

1) Используем формулы:

$$\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha — 3\cos\alpha,$$

$$\sin 3\alpha = 3\sin\alpha — 4\sin^3\alpha.$$

Тогда

$$ \frac{\cos^3\alpha-\cos 3\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^3\alpha-(4\cos^3\alpha-3\cos\alpha)}{\cos\alpha} = \frac{3\cos\alpha-3\cos^3\alpha}{\cos\alpha} = 3-3\cos^2\alpha, $$

$$ \frac{\sin^3\alpha+\sin 3\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^3\alpha+(3\sin\alpha-4\sin^3\alpha)}{\sin\alpha} = \frac{3\sin\alpha-3\sin^3\alpha}{\sin\alpha} = 3-3\sin^2\alpha. $$

Складываем:

$$ (3-3\cos^2\alpha)+(3-3\sin^2\alpha) = 6-3(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha) = 6-3=3. $$

Тождество доказано.

2) Аналогично преобразуем числитель и знаменатель:

$$ \frac{\sin^3\alpha+\sin 3\alpha}{\cos^3\alpha-\cos 3\alpha} = \frac{3\sin\alpha-3\sin^3\alpha}{3\cos\alpha-3\cos^3\alpha}. $$

Вынесем общий множитель:

$$ \frac{3\sin\alpha(1-\sin^2\alpha)}{3\cos\alpha(1-\cos^2\alpha)} = \frac{\sin\alpha\cos^2\alpha}{\cos\alpha\sin^2\alpha}. $$

Сокращаем:

$$ \frac{\sin\alpha\cos^2\alpha}{\cos\alpha\sin^2\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \ctg\alpha. $$

Тождество доказано.