Упр.26.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что $$\mathrm{tg}(75^\circ)-\mathrm{ctg}(75^\circ)=2\sqrt{3}$$.

$$\tg 75^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos 150^\circ}{1+\cos 150^\circ}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{1-\frac{\sqrt3}{2}}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}}=2+\sqrt3.$$

Тогда

$$\tg 75^\circ-\ctg 75^\circ=(2+\sqrt3)-\frac{1}{2+\sqrt3}=\frac{(2+\sqrt3)^2-1}{2+\sqrt3}.$$

Вычислим числитель:

$$\frac{(2+\sqrt3)^2-1}{2+\sqrt3}=\frac{4+4\sqrt3+3-1}{2+\sqrt3}=\frac{6+4\sqrt3}{2+\sqrt3}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac{6+4\sqrt3}{2+\sqrt3}=\frac{2\sqrt3(\sqrt3+2)}{2+\sqrt3}=2\sqrt3.$$

Следовательно, $$\tg 75^\circ-\ctg 75^\circ=2\sqrt3.$$

Ответ

$$2\sqrt3$$