Упр.26.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 26.21. Докажите, что tg(75°)-ctg(75°)=2v3.

Найдём значение $$\tg 75^\circ$$:

$$ \tg 75^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos 150^\circ}{1+\cos 150^\circ}} =\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{1-\frac{\sqrt3}{2}}} =\sqrt{\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}} =2+\sqrt3. $$

Тогда

$$ \tg 75^\circ-\ctg 75^\circ=(2+\sqrt3)-\frac{1}{2+\sqrt3} =\frac{(2+\sqrt3)^2-1}{2+\sqrt3}. $$

Упростим числитель:

$$ \frac{(2+\sqrt3)^2-1}{2+\sqrt3} =\frac{4+4\sqrt3+3-1}{2+\sqrt3} =\frac{6+4\sqrt3}{2+\sqrt3}. $$

Вынесем общий множитель:

$$ \frac{6+4\sqrt3}{2+\sqrt3} =\frac{2\sqrt3(\sqrt3+2)}{2+\sqrt3} =2\sqrt3. $$

Следовательно,

$$ \tg 75^\circ-\ctg 75^\circ=2\sqrt3. $$

Ответ

$$2\sqrt3$$