Упр.26.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 26.20. Докажите, что tg(15°)+ctg(15°)=4.

Используем формулу

$$\tg \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}.$$

Тогда при $$\alpha=30^\circ$$ получаем

$$\tg 15^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos 30^\circ}{1+\cos 30^\circ}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{(2-\sqrt{3})^2}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{7-4\sqrt{3}}{1}=(2-\sqrt{3})^2.$$

Значит,

$$\tg 15^\circ=2-\sqrt{3}.$$

Теперь найдём сумму:

$$\tg 15^\circ+\ctg 15^\circ=(2-\sqrt{3})+\frac{1}{2-\sqrt{3}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$ (2-\sqrt{3})+\frac{1}{2-\sqrt{3}} =\frac{(2-\sqrt{3})^2+1}{2-\sqrt{3}} =\frac{4-4\sqrt{3}+3+1}{2-\sqrt{3}} =\frac{8-4\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}. $$

Вынесем 4:

$$\frac{8-4\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{4(2-\sqrt{3})}{2-\sqrt{3}}=4.$$

Следовательно, $$\tg 15^\circ+\ctg 15^\circ=4.$$

Ответ

$$4$$