Упр.26.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin^2(5?/4-4?)-sin^2(5?/4+4?)=-sin(8?);
2) 1-2cos(3?)+cos(6?)=-4sin^2(3?/2)cos(3?);
3) sin^2(4?-?/2)/(ctg(3?/2-2?)+tg(3?/2+2?))=-1/4sin(8?);
4) (2sin(?)-sin(2?))/(2sin(?)+sin(2?))=tg^2(?/2).

1. $$\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}-4\alpha\right)-\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}+4\alpha\right)$$
   $$=\left(\sin\left(\frac{5\pi}{4}-4\alpha\right)-\sin\left(\frac{5\pi}{4}+4\alpha\right)\right) \left(\sin\left(\frac{5\pi}{4}-4\alpha\right)+\sin\left(\frac{5\pi}{4}+4\alpha\right)\right).$$

   Используем формулы суммы и разности синусов:
   $$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2},$$
   $$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}.$$

   Тогда
   $$\sin\left(\frac{5\pi}{4}-4\alpha\right)-\sin\left(\frac{5\pi}{4}+4\alpha\right) =2\cos\frac{5\pi}{4}\sin(-4\alpha),$$
   $$\sin\left(\frac{5\pi}{4}-4\alpha\right)+\sin\left(\frac{5\pi}{4}+4\alpha\right) =2\sin\frac{5\pi}{4}\cos 4\alpha.$$

   Так как $$\cos\frac{5\pi}{4}=\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2},$$
   получаем
   $$\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}-4\alpha\right)-\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}+4\alpha\right) =-\sin 8\alpha.$$

2. $$1-2\cos 3\alpha+\cos 6\alpha$$
   $$=1-2\cos 3\alpha+\left(2\cos^2 3\alpha-1\right)$$
   $$=2\cos^2 3\alpha-2\cos 3\alpha$$
   $$=2\cos 3\alpha(\cos 3\alpha-1).$$

   С другой стороны,
   $$-4\sin^2\frac{3\alpha}{2}\cos 3\alpha =-4\cdot \frac{1-\cos 3\alpha}{2}\cos 3\alpha =2\cos 3\alpha(\cos 3\alpha-1).$$

   Следовательно, тождество верно.

3. $$\frac{\sin^2\left(4\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}{\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-2\alpha\right)+\tg\left(\frac{3\pi}{2}+2\alpha\right)}.$$

   Так как
   $$\sin\left(4\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos 4\alpha,$$
   то
   $$\sin^2\left(4\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=\cos^2 4\alpha.$$

   Кроме того,
   $$\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-2\alpha\right)=\tg 2\alpha,$$
   $$\tg\left(\frac{3\pi}{2}+2\alpha\right)=-\ctg 2\alpha.$$

   Тогда
   $$\ctg\left(\frac{3\pi}{2}-2\alpha\right)+\tg\left(\frac{3\pi}{2}+2\alpha\right) =\tg 2\alpha-\ctg 2\alpha.$$

   Получаем
   $$\frac{\cos^2 4\alpha}{\tg 2\alpha-\ctg 2\alpha} =\frac{\cos^2 4\alpha\cdot \tg 2\alpha}{\tg^2 2\alpha-1}.$$

   Используем формулы
   $$\tg^2 2\alpha-1=\frac{\sin^2 2\alpha-\cos^2 2\alpha}{\cos^2 2\alpha} =-\frac{\cos 4\alpha}{\cos^2 2\alpha},$$
   $$\tg 2\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}.$$

   После преобразований:
   $$\frac{\cos^2 4\alpha\cdot \tg 2\alpha}{\tg^2 2\alpha-1} =-\frac12\sin 4\alpha\cos 4\alpha =-\frac14\sin 8\alpha.$$

   Тождество доказано.

4. $$\frac{2\sin\alpha-\sin 2\alpha}{2\sin\alpha+\sin 2\alpha}.$$

   Так как $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,$$ то
   $$\frac{2\sin\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha} =\frac{2\sin\alpha(1-\cos\alpha)}{2\sin\alpha(1+\cos\alpha)}.$$

   Сокращаем на $$2\sin\alpha$$:
   $$\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}.$$

   По формуле половинного угла
   $$\tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}.$$

   Следовательно,
   $$\frac{2\sin\alpha-\sin 2\alpha}{2\sin\alpha+\sin 2\alpha}=\tg^2\frac{\alpha}{2}.$$

Ответ

Все четыре тождества верны.