Упр.26.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2cos(2?)/(ctg(?)-tg(?));
2) (cos(?)/(1+sin(?))+cos(?)/(1-sin(?)))sin(2?);
3) (cos(2?)+1-cos^2(?))/cos(?/2+2?).

1. $$\frac{2\cos 2\alpha}{\ctg \alpha-\tg \alpha}$$
   
   Преобразуем знаменатель:
   $$\ctg \alpha-\tg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}-\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin \alpha\cos \alpha}=\frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha\cos \alpha}.$$
   Тогда
   $$\frac{2\cos 2\alpha}{\ctg \alpha-\tg \alpha}=\frac{2\cos 2\alpha}{\frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha\cos \alpha}}=2\sin \alpha\cos \alpha=\sin 2\alpha.$$
2. $$\left(\frac{\cos \alpha}{1+\sin \alpha}+\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha}\right)\sin 2\alpha$$
   
   Приведём дроби к общему знаменателю:
   $$\frac{\cos \alpha(1-\sin \alpha)+\cos \alpha(1+\sin \alpha)}{(1+\sin \alpha)(1-\sin \alpha)}\sin 2\alpha.$$
   Упростим:
   $$\frac{2\cos \alpha}{1-\sin^2\alpha}\sin 2\alpha=\frac{2\cos \alpha}{\cos^2\alpha}\cdot 2\sin \alpha\cos \alpha=4\sin \alpha.$$
3. $$\frac{\cos 2\alpha+1-\cos^2\alpha}{\cos\left(\frac{\pi}{2}+2\alpha\right)}$$
   
   Используем формулы:
   $$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+2\alpha\right)=-\sin 2\alpha.$$
   Тогда
   $$\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+1-\cos^2\alpha}{-\sin 2\alpha} =\frac{1-\sin^2\alpha-\sin^2\alpha}{-\sin 2\alpha} =\frac{\cos^2\alpha}{-\sin 2\alpha}.$$
   Далее:
   $$\frac{\cos^2\alpha}{-\sin 2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha}{-2\sin \alpha\cos \alpha}=-\frac{\cos \alpha}{2\sin \alpha}=-\frac12\ctg \alpha.$$

Ответ

1) $$\sin 2\alpha$$; 2) $$4\sin \alpha$$; 3) $$-\frac12\ctg \alpha$$.