Упр.26.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 26.14. Дано: cos(?)=3/4, 0 < ? < ?/2. Найдите sin(?/2), cos(?/2) и tg(?/2).

Используем формулы половинного угла. Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$\frac{\alpha}{2}$$ тоже острый, значит, берём положительные значения корней:

$$ \sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}, \qquad \cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}, \qquad \tg \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}. $$

Подставим $$\cos \alpha=\frac{3}{4}$$:

$$ \sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{4}}{2}} =\sqrt{\frac{\frac{1}{4}}{2}} =\sqrt{\frac{1}{8}} =\frac{\sqrt{2}}{4}; $$

$$ \cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{4}}{2}} =\sqrt{\frac{\frac{7}{4}}{2}} =\sqrt{\frac{7}{8}} =\frac{\sqrt{14}}{4}; $$

$$ \tg \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{4}}{1+\frac{3}{4}}} =\sqrt{\frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}}} =\sqrt{\frac{1}{7}} =\frac{\sqrt{7}}{7}. $$

Ответ

$$ \sin \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}, \qquad \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{14}}{4}, \qquad \tg \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{7}}{7}. $$