Упр.26.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Дано: $$\cos(2\alpha)=-0{,}6,\quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$ Найдите $$\sin\alpha$$ и $$\cos\alpha$$.

Используем формулы половинного угла:

$$\sin \alpha=\pm\sqrt{\frac{1-\cos 2\alpha}{2}}, \qquad \cos \alpha=\pm\sqrt{\frac{1+\cos 2\alpha}{2}}.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то угол $$\alpha$$ лежит во II четверти, значит

$$\sin \alpha>0,\qquad \cos \alpha<0.$$

Подставим $$\cos 2\alpha=-0{,}6$$:

$$\sin \alpha=\sqrt{\frac{1-(-0{,}6)}{2}}=\sqrt{\frac{1{,}6}{2}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt5},$$

$$\cos \alpha=-\sqrt{\frac{1+(-0{,}6)}{2}}=-\sqrt{\frac{0{,}4}{2}}=-\sqrt{\frac{1}{5}}=-\frac{1}{\sqrt5}.$$

Ответ: $$\sin \alpha=\frac{2}{\sqrt5},\ \cos \alpha=-\frac{1}{\sqrt5}.$$