Упр.26.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 26.11. Найдите sin(?), cos(?), tg(?), если tg(?/2)=5.

Используем формулы перехода от половинного угла к полному:

$$ \tg \alpha=\frac{2\tg \frac{\alpha}{2}}{1-\tg^2 \frac{\alpha}{2}}, \qquad \cos \alpha=\frac{1-\tg^2 \frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2 \frac{\alpha}{2}} $$

Так как $$\tg \frac{\alpha}{2}=5,$$ получаем:

$$ \tg \alpha=\frac{2\cdot 5}{1-5^2}=\frac{10}{1-25}=\frac{10}{-24}=-\frac{5}{12} $$

$$ \cos \alpha=\frac{1-5^2}{1+5^2}=\frac{1-25}{1+25}=\frac{-24}{26}=-\frac{12}{13} $$

Теперь найдём синус:

$$ \sin \alpha=\tg \alpha \cdot \cos \alpha= \left(-\frac{5}{12}\right)\left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5}{13} $$

Ответ

$$ \sin \alpha=\frac{5}{13}, \qquad \cos \alpha=-\frac{12}{13}, \qquad \tg \alpha=-\frac{5}{12} $$