Упр.26.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите $$\sin(?)$$, $$\cos(?)$$, $$\tg(?)$$, если $$\tg\left(\frac{?}{2}\right)=5$$.

Пусть $$\tg \frac{\alpha}{2}=5.$$ Тогда воспользуемся формулами двойного угла:

$$\tg \alpha=\frac{2\tg \frac{\alpha}{2}}{1-\tg^2 \frac{\alpha}{2}}=\frac{2\cdot 5}{1-5^2}=\frac{10}{-24}=-\frac{5}{12}.$$

Найдём косинус:

$$\cos \alpha=\frac{1-\tg^2 \frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2 \frac{\alpha}{2}}=\frac{1-5^2}{1+5^2}=\frac{-24}{26}=-\frac{12}{13}.$$

Теперь найдём синус:

$$\sin \alpha=\tg \alpha \cdot \cos \alpha=-\frac{5}{12}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5}{13}.$$

Ответ: $$\sin \alpha=\frac{5}{13},\quad \cos \alpha=-\frac{12}{13},\quad \tg \alpha=-\frac{5}{12}.$$