Упр.25.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos^2(?/4+?)+cos^2(?/4-?)+sin(3?/2-?)cos(3?/2+?)tg(?+?);
2) cos^2(20°-?)/sin^2(70°+?)+tg(?+10°)ctg(80°-?).

1. $$\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\tg(\pi+\alpha)$$

   Используем формулы приведения:
   $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha,$$
   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha,$$
   $$\tg(\pi+\alpha)=\tg\alpha.$$

   Тогда
   $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\tg(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\cdot\sin\alpha\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\sin^2\alpha.$$

   Кроме того,
   $$\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\right)=\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right).$$

   Поэтому
   $$ \cos^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-\sin^2\alpha = \cos^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\sin^2\alpha =1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha. $$

2. $$\frac{\cos^2(20^\circ-\alpha)}{\sin^2(70^\circ+\alpha)}+\tg(\alpha+10^\circ)\ctg(80^\circ-\alpha)$$

   Так как
   $$20^\circ-\alpha=90^\circ-(70^\circ+\alpha),$$
   то
   $$\cos(20^\circ-\alpha)=\sin(70^\circ+\alpha).$$
   Значит,
   $$ \frac{\cos^2(20^\circ-\alpha)}{\sin^2(70^\circ+\alpha)}=1. $$

   Далее,
   $$80^\circ-\alpha=90^\circ-(10^\circ+\alpha),$$
   поэтому
   $$\ctg(80^\circ-\alpha)=\tg(10^\circ+\alpha).$$
   Тогда
   $$ \tg(\alpha+10^\circ)\ctg(80^\circ-\alpha)=\tg^2(\alpha+10^\circ). $$

   Получаем
   $$ 1+\tg^2(\alpha+10^\circ)=\frac{1}{\cos^2(\alpha+10^\circ)}. $$

Ответ

1) $$\cos^2\alpha$$; 2) $$\frac{1}{\cos^2(\alpha+10^\circ)}$$.