Упр.25.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Докажите тождество:
- $$\frac{\cos^2(?/3+?)}{\operatorname{tg}^2(?/6-?)}+\sin^2(?/3+?)\operatorname{tg}^2(?/6-?)=1$$;
- $$\frac{\cos^4(?-?)}{\cos^4(?-3?/2)+\sin^4(?+3?/2)-1}=-\frac{1}{2}\operatorname{ctg}^2(?)$$;
- $$\sin^2(3?/2-?)(\operatorname{tg}^2(?)-1)\operatorname{ctg}(?-5?/4)\sin^{-2}(5?/4+?)=2$$.
1) $$\frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)}{\tg^2\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)}+\sin^2\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)\tg^2\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)$$
Преобразуем $$\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right),$$ $$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right).$$ Тогда
$$\frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)}{\tg^2\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)}+\cos^2\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)\tg^2\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=1.$$
Так как $$\tg^2 x=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x},$$ то
$$\cos^2\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)+\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=1.$$
Тождество доказано.
2) $$\frac{\cos^4(\alpha-\pi)}{\cos^4\left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)+\sin^4\left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)-1}$$
Используем формулы приведения:
$$\cos(\alpha-\pi)=-\cos\alpha,\qquad \cos\left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right)=-\sin\alpha,\qquad \sin\left(\alpha+\frac{3\pi}{2}\right)=-\cos\alpha.$$
Тогда
$$\frac{\cos^4\alpha}{\sin^4\alpha+\cos^4\alpha-1}.$$
Преобразуем знаменатель:
$$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha-1=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha-1=-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$$
Следовательно,
$$\frac{\cos^4\alpha}{-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=-\frac{1}{2}\ctg^2\alpha.$$
Тождество доказано.
3) $$\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)(\tg^2\alpha-1)\ctg\left(\alpha-\frac{5\pi}{4}\right)\sin^{-2}\left(\frac{5\pi}{4}+\alpha\right)$$
Преобразуем каждую часть:
$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha,\qquad \tg^2\alpha-1=\frac{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha},$$
$$\ctg\left(\alpha-\frac{5\pi}{4}\right)=\ctg\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right),\qquad \sin\left(\frac{5\pi}{4}+\alpha\right)=-\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right).$$
Тогда
$$\cos^2\alpha(\tg^2\alpha-1)\ctg\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\cdot\frac{1}{\sin^2\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)}.$$
Подставим $$\tg^2\alpha-1=\frac{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}$$ и упростим:
$$\left(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\right)\ctg\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\cdot\frac{1}{\sin^2\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)}.$$
Так как
$$\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos 2\alpha,$$
а также
$$\ctg\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)},$$
то получаем
$$-\frac{\cos 2\alpha}{\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)}.$$
Используем формулу
$$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$
тогда
$$-\frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{2}\sin\left(2\alpha+\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{2\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha}=2.$$
Тождество доказано.
