Упр.25.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(110В°)+sin(130В°)+sin(150В°)+…+sin(230В°)+sin(250В°)+sin(270В°);
2) tg(10В°)tg(20В°)tg(30В°)…tg(70В°)tg(80В°);
3) ctg(15В°)+ctg(30В°)+ctg(45В°)+…+ctg(165В°).

1. $$\sin 110^\circ+\sin 130^\circ+\sin 150^\circ+\cdots+\sin 250^\circ+\sin 270^\circ$$
   
   Используем формулу $$\sin(360^\circ-\alpha)=-\sin\alpha$$:
   $$\sin 250^\circ=-\sin 110^\circ,\quad \sin 230^\circ=-\sin 130^\circ,\quad \sin 210^\circ=-\sin 150^\circ,$$
   $$\sin 190^\circ=-\sin 170^\circ,\quad \sin 170^\circ=-\sin 190^\circ,\quad \sin 270^\circ=-1.$$
   Тогда все попарно сокращается, и остаётся
   $$-1.$$

2. $$\tg 10^\circ\cdot \tg 20^\circ\cdot \tg 30^\circ\cdot \ldots \cdot \tg 70^\circ\cdot \tg 80^\circ$$
   
   Сгруппируем множители:
   $$\tg \alpha\cdot \tg(90^\circ-\alpha)=\tg \alpha\cdot \ctg \alpha=1.$$
   Поэтому
   $$\tg 10^\circ\cdot \tg 80^\circ=1,\quad \tg 20^\circ\cdot \tg 70^\circ=1,\quad \tg 30^\circ\cdot \tg 60^\circ=1,$$
   $$\tg 40^\circ\cdot \tg 50^\circ=1.$$
   Следовательно,
   $$\tg 10^\circ\cdot \tg 20^\circ\cdot \tg 30^\circ\cdot \ldots \cdot \tg 70^\circ\cdot \tg 80^\circ=1.$$

3. $$\ctg 15^\circ+\ctg 30^\circ+\ctg 45^\circ+\cdots+\ctg 165^\circ$$
   
   Используем формулу
   $$\ctg(180^\circ-\alpha)=-\ctg\alpha.$$
   Тогда
   $$\ctg 165^\circ=-\ctg 15^\circ,\quad \ctg 150^\circ=-\ctg 30^\circ,\quad \ctg 135^\circ=-\ctg 45^\circ,$$
   $$\ctg 120^\circ=-\ctg 60^\circ,\quad \ctg 105^\circ=-\ctg 75^\circ.$$
   Все слагаемые попарно сокращаются, поэтому сумма равна
   $$0.$$

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$1$$; 3) $$0$$.