Упр.25.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) ctg(5В°)ctg(15В°)ctg(25В°)…ctg(75В°)ctg(85В°);
2) tg(20В°)+tg(40В°)+tg(60В°)+…+tg(160В°)+tg(180В°);
3) sin(0В°)+sin(1В°)+sin(2В°)+…+sin(359В°)+sin(360В°).

1. $$\ctg 5^\circ \cdot \ctg 15^\circ \cdot \ctg 25^\circ \cdot \ldots \cdot \ctg 75^\circ \cdot \ctg 85^\circ$$

   Используем формулу $$\ctg(90^\circ-\alpha)=\tg \alpha$$:

   $$ \ctg 85^\circ=\tg 5^\circ,\quad \ctg 75^\circ=\tg 15^\circ,\quad \ldots,\quad \ctg 5^\circ=\tg 85^\circ $$

   Тогда
   $$ \ctg 5^\circ \cdot \ctg 15^\circ \cdot \ldots \cdot \ctg 45^\circ \cdot \ldots \cdot \ctg 75^\circ \cdot \ctg 85^\circ = \ctg 5^\circ \cdot \ctg 15^\circ \cdot \ldots \cdot \ctg 45^\circ \cdot \ldots \cdot \tg 15^\circ \cdot \tg 5^\circ = 1. $$

2. $$ \tg 20^\circ+\tg 40^\circ+\tg 60^\circ+\ldots+\tg 160^\circ+\tg 180^\circ $$

   Сгруппируем слагаемые попарно:
   $$ \tg \alpha+\tg(180^\circ-\alpha)=\tg \alpha-\tg \alpha=0. $$

   Поэтому
   $$ \tg 20^\circ+\tg 40^\circ+\ldots+\tg 160^\circ+\tg 180^\circ = \tg 20^\circ+\tg 40^\circ+\ldots-\tg 40^\circ-\tg 20^\circ+0=0. $$

3. $$ \sin 0^\circ+\sin 1^\circ+\sin 2^\circ+\ldots+\sin 359^\circ+\sin 360^\circ $$

   Используем формулу $$\sin(360^\circ-\alpha)=-\sin\alpha$$:

   $$ \sin 359^\circ=-\sin 1^\circ,\quad \sin 358^\circ=-\sin 2^\circ,\quad \ldots,\quad \sin 180^\circ=0. $$

   Тогда все слагаемые взаимно уничтожаются:
   $$ \sin 0^\circ+\sin 1^\circ+\sin 2^\circ+\ldots+\sin 359^\circ+\sin 360^\circ = \sin 1^\circ+\sin 2^\circ+\ldots-\sin 2^\circ-\sin 1^\circ+0=0. $$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$0$$; 3) $$0$$.