Упр.25.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 25.11. Сумма положительных чисел ?, ? и ? меньше ?/2. Докажите, что ctg(?)+ctg(?)+ctg(?) > tg(?)+tg(?)+tg(?).

Подробный ответ

Так как $$\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$$ и $$\alpha,\beta,\gamma>0,$$ то каждая из этих величин меньше $$\frac{\pi}{2}.$$

Из условия $$\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$$ получаем:

$$\alpha=\frac{\pi}{2}-(\beta+\gamma), \quad \beta=\frac{\pi}{2}-(\gamma+\alpha), \quad \gamma=\frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta).$$

Поскольку функция $$\ctg x$$ убывает на промежутке $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right),$$ а функция $$\tg x$$ возрастает на этом же промежутке, то из неравенств

$$\alpha<\frac{\pi}{2}-\beta,\quad \beta<\frac{\pi}{2}-\gamma,\quad \gamma<\frac{\pi}{2}-\alpha$$

следует:

$$\ctg \alpha>\ctg\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\tg \beta,$$

$$\ctg \beta>\ctg\left(\frac{\pi}{2}-\gamma\right)=\tg \gamma,$$

$$\ctg \gamma>\ctg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tg \alpha.$$

Складывая эти неравенства, получаем:

$$\ctg \alpha+\ctg \beta+\ctg \gamma>\tg \alpha+\tg \beta+\tg \gamma.$$