Упр.25.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 25.10. Сумма положительных чисел ?, ? и ? равна ?/2. Докажите, что cos(?)+cos(?)+cos(?) > sin(?)+sin(?)+sin(?).

Так как $$\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$$ и $$\alpha>0,\ \beta>0,\ \gamma>0,$$ то каждая из этих величин меньше $$\frac{\pi}{2}$$.

Из равенства $$\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$$ получаем:

$$\alpha=\frac{\pi}{2}-(\beta+\gamma),\quad \beta=\frac{\pi}{2}-(\alpha+\gamma),\quad \gamma=\frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta).$$

Поскольку $$\beta+\gamma>\beta,$$ а функция $$\cos x$$ убывает на промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right),$$ имеем

$$\cos\alpha=\cos\left(\frac{\pi}{2}-(\beta+\gamma)\right)=\sin(\beta+\gamma)>\sin\beta.$$

Аналогично:

$$\cos\beta=\sin(\alpha+\gamma)>\sin\gamma,$$

$$\cos\gamma=\sin(\alpha+\beta)>\sin\alpha.$$

Складывая эти неравенства, получаем

$$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma>\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma.$$

Ответ

$$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma>\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma.$$