Упр.24.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите $$\cos(\alpha+\beta)$$, если $$\cos\alpha=\frac{3}{5}$$, $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ и $$\cos\beta=-\frac{4}{5}$$, $$\frac{\pi}{2}<\beta<\pi$$.

Так как $$\cos \alpha=\frac{3}{5}$$ и $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то

$$\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Так как $$\cos \beta=-\frac{4}{5}$$ и $$\frac{\pi}{2}<\beta<\pi,$$ то

$$\sin \beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Тогда

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

Подставим значения:

$$\cos(\alpha+\beta)=\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)-\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}=-\frac{12}{25}-\frac{12}{25}=-\frac{24}{25}.$$

Ответ: $$-\frac{24}{25}$$