Упр.24.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 24.9. Найдите cos(?+?), если cos(?)=3/5, 0 < ? < ?/2 и cos(?)=-4/5, ?/2 < ? < ?.

Найдём синусы углов по формуле $$\sin^2 x=1-\cos^2 x.$$

Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то $$\sin \alpha>0$$ и

$$\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2 \alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<\beta<\pi,$$ то $$\sin \beta>0$$ и

$$\sin \beta=\sqrt{1-\cos^2 \beta}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Теперь используем формулу суммы косинусов:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

Подставим значения:

$$\cos(\alpha+\beta)=\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)-\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}=-\frac{12}{25}-\frac{12}{25}=-\frac{24}{25}.$$

Ответ

$$-\frac{24}{25}$$