Упр.24.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (sin(?+?)-sin(?)cos(?))/(sin(?-?)+sin(?)cos(?))=1;
2) (v2cos(?)-2sin(45°-?))/(2sin(60°+?)-v3cos(?))=v2.

1. Используем формулу синуса разности:
   $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.$$
   Тогда
   $$\sin(\alpha+\beta)-\sin\beta\cos\alpha=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta-\sin\beta\cos\alpha=\sin\alpha\cos\beta,$$
   а
   $$\sin(\alpha-\beta)+\sin\beta\cos\alpha=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta+\sin\beta\cos\alpha=\sin\alpha\cos\beta.$$
   Следовательно,
   $$ \frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin\beta\cos\alpha}{\sin(\alpha-\beta)+\sin\beta\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\cos\beta}=1. $$

2. Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулу
   $$\sin(45^\circ-\alpha)=\sin45^\circ\cos\alpha-\cos45^\circ\sin\alpha,$$
   а также
   $$\sin(60^\circ+\alpha)=\sin60^\circ\cos\alpha+\cos60^\circ\sin\alpha.$$
   Тогда
   $$ \sqrt2\cos\alpha-2\sin(45^\circ-\alpha) = \sqrt2\cos\alpha-2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha\right) = \sqrt2\sin\alpha, $$
   а
   $$ 2\sin(60^\circ+\alpha)-\sqrt3\cos\alpha = 2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha+\frac12\sin\alpha\right)-\sqrt3\cos\alpha = \sin\alpha. $$
   Значит,
   $$ \frac{\sqrt2\cos\alpha-2\sin(45^\circ-\alpha)}{2\sin(60^\circ+\alpha)-\sqrt3\cos\alpha} = \frac{\sqrt2\sin\alpha}{\sin\alpha} = \sqrt2. $$

Ответ

1) $$1$$;
2) $$\sqrt2$$.